Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76408 / 59384
↖ ↑ ↗
← N 16.657244°
E 29.860840°		 ← 292.61 m → N 16.657244°
E 29.863586°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
N 16.654612°
E 29.860840°		 ← 292.61 m →
85 624 m²		 N 16.654612°
E 29.863586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582950592041016 y=0.453067779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582950592041016 × 217)
    floor (0.582950592041016 × 131072)
    floor (76408.5)     		tx = 76408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453067779541016 × 217)
    floor (0.453067779541016 × 131072)
    floor (59384.5)     		ty = 59384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76408 / 59384 ti = "17/76408/59384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76408/59384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76408 ÷ 217
    76408 ÷ 131072     		x = 0.58294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59384 ÷ 217
    59384 ÷ 131072     		y = 0.45306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58294677734375 × 2 - 1) × π
    0.1658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52116997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    0.0938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.294907806462585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52116997} λ = 0.52116997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294907806462585))-π/2
    2×atan(1.34300253682395)-π/2
    2×0.930760036352635-π/2
    1.86152007270527-1.57079632675     		φ = 0.29072375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52116997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.860840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29072375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.657244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76408 KachelY 59384 0.52116997 0.29072375 29.860840 16.657244
    Oben rechts KachelX + 1 76409 KachelY 59384 0.52121791 0.29072375 29.863586 16.657244
    Unten links KachelX 76408 KachelY + 1 59385 0.52116997 0.29067782 29.860840 16.654612
    Unten rechts KachelX + 1 76409 KachelY + 1 59385 0.52121791 0.29067782 29.863586 16.654612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29072375-0.29067782) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dl = 292.620030000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29072375-0.29067782) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dr = 292.620030000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52116997-0.52121791) × cos(0.29072375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.958036666637048 × 6371000     		do = 292.609057854562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52116997-0.52121791) × cos(0.29067782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.958049831262566 × 6371000     		du = 292.613078670053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29072375)-sin(0.29067782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958036666637048-0.958049831262566)×R²
    abs(0.52121791-0.52116997)×1.31646255187023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31646255187023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31646255187023e-05×40589641000000     		ar = 85623.859588358m²