Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76408 / 59304
↖ ↑ ↗
← N 16.867633°
E 29.860840°		 ← 292.29 m → N 16.867633°
E 29.863586°		 →
↑
292.24 m
↓
↑
292.24 m
↓
N 16.865005°
E 29.860840°		 ← 292.29 m →
85 417 m²		 N 16.865005°
E 29.863586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582950592041016 y=0.452457427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582950592041016 × 217)
    floor (0.582950592041016 × 131072)
    floor (76408.5)     		tx = 76408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452457427978516 × 217)
    floor (0.452457427978516 × 131072)
    floor (59304.5)     		ty = 59304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76408 / 59304 ti = "17/76408/59304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76408/59304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76408 ÷ 217
    76408 ÷ 131072     		x = 0.58294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59304 ÷ 217
    59304 ÷ 131072     		y = 0.45245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58294677734375 × 2 - 1) × π
    0.1658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52116997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    0.0950927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.29874275843219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52116997} λ = 0.52116997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29874275843219))-π/2
    2×atan(1.34816277535695)-π/2
    2×0.932596035210016-π/2
    1.86519207042003-1.57079632675     		φ = 0.29439574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52116997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.860840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29439574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.867633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76408 KachelY 59304 0.52116997 0.29439574 29.860840 16.867633
    Oben rechts KachelX + 1 76409 KachelY 59304 0.52121791 0.29439574 29.863586 16.867633
    Unten links KachelX 76408 KachelY + 1 59305 0.52116997 0.29434987 29.860840 16.865005
    Unten rechts KachelX + 1 76409 KachelY + 1 59305 0.52121791 0.29434987 29.863586 16.865005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29439574-0.29434987) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dl = 292.237770000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29439574-0.29434987) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dr = 292.237770000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52116997-0.52121791) × cos(0.29439574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95697765009351 × 6371000     		do = 292.28560694308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52116997-0.52121791) × cos(0.29434987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956990958801156 × 6371000     		du = 292.289671764961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29439574)-sin(0.29434987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95697765009351-0.956990958801156)×R²
    abs(0.52121791-0.52116997)×1.33087076460425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33087076460425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33087076460425e-05×40589641000000     		ar = 85417.4879384454m²