Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76407 / 58582
↖ ↑ ↗
← N 18.755512°
E 29.858094°		 ← 289.15 m → N 18.755512°
E 29.860840°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 18.752910°
E 29.858094°		 ← 289.15 m →
83 635 m²		 N 18.752910°
E 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582942962646484 y=0.446949005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582942962646484 × 217)
    floor (0.582942962646484 × 131072)
    floor (76407.5)     		tx = 76407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446949005126953 × 217)
    floor (0.446949005126953 × 131072)
    floor (58582.5)     		ty = 58582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76407 / 58582 ti = "17/76407/58582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76407/58582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76407 ÷ 217
    76407 ÷ 131072     		x = 0.582939147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58582 ÷ 217
    58582 ÷ 131072     		y = 0.446945190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582939147949219 × 2 - 1) × π
    0.165878295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52112204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446945190429688 × 2 - 1) × π
    0.106109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.33335319995787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52112204} λ = 0.52112204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33335319995787))-π/2
    2×atan(1.39564015146955)-π/2
    2×0.949070876508821-π/2
    1.89814175301764-1.57079632675     		φ = 0.32734543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52112204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.858094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32734543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.755512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76407 KachelY 58582 0.52112204 0.32734543 29.858094 18.755512
    Oben rechts KachelX + 1 76408 KachelY 58582 0.52116997 0.32734543 29.860840 18.755512
    Unten links KachelX 76407 KachelY + 1 58583 0.52112204 0.32730003 29.858094 18.752910
    Unten rechts KachelX + 1 76408 KachelY + 1 58583 0.52116997 0.32730003 29.860840 18.752910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32734543-0.32730003) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dl = 289.24339999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32734543-0.32730003) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dr = 289.24339999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52112204-0.52116997) × cos(0.32734543) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946899204163865 × 6371000     		do = 289.147063189039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52112204-0.52116997) × cos(0.32730003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946913800675157 × 6371000     		du = 289.151520409358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32734543)-sin(0.32730003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946899204163865-0.946913800675157)×R²
    abs(0.52116997-0.52112204)×1.45965112910984e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45965112910984e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45965112910984e-05×40589641000000     		ar = 83634.5242818974m²