Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76407 / 57974
↖ ↑ ↗
← N 20.329175°
E 29.858094°		 ← 286.34 m → N 20.329175°
E 29.860840°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.326599°
E 29.858094°		 ← 286.35 m →
82 002 m²		 N 20.326599°
E 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582942962646484 y=0.442310333251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582942962646484 × 217)
    floor (0.582942962646484 × 131072)
    floor (76407.5)     		tx = 76407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442310333251953 × 217)
    floor (0.442310333251953 × 131072)
    floor (57974.5)     		ty = 57974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76407 / 57974 ti = "17/76407/57974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76407/57974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76407 ÷ 217
    76407 ÷ 131072     		x = 0.582939147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57974 ÷ 217
    57974 ÷ 131072     		y = 0.442306518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582939147949219 × 2 - 1) × π
    0.165878295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52112204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442306518554688 × 2 - 1) × π
    0.115386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.362498834926865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52112204} λ = 0.52112204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362498834926865))-π/2
    2×atan(1.43691554687345)-π/2
    2×0.962803679720994-π/2
    1.92560735944199-1.57079632675     		φ = 0.35481103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52112204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.858094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35481103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.329175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76407 KachelY 57974 0.52112204 0.35481103 29.858094 20.329175
    Oben rechts KachelX + 1 76408 KachelY 57974 0.52116997 0.35481103 29.860840 20.329175
    Unten links KachelX 76407 KachelY + 1 57975 0.52112204 0.35476608 29.858094 20.326599
    Unten rechts KachelX + 1 76408 KachelY + 1 57975 0.52116997 0.35476608 29.860840 20.326599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35481103-0.35476608) × R
    4.49500000000436e-05 × 6371000     		dl = 286.376450000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35481103-0.35476608) × R
    4.49500000000436e-05 × 6371000     		dr = 286.376450000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52112204-0.52116997) × cos(0.35481103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937712156228758 × 6371000     		do = 286.341687581866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52112204-0.52116997) × cos(0.35476608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937727771503508 × 6371000     		du = 286.346455893863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35481103)-sin(0.35476608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937712156228758-0.937727771503508)×R²
    abs(0.52116997-0.52112204)×1.56152747501359e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56152747501359e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56152747501359e-05×40589641000000     		ar = 82002.1987567445m²