Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76404 / 57987
↖ ↑ ↗
← N 20.295690°
E 29.849854°		 ← 286.40 m → N 20.295690°
E 29.852600°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
N 20.293114°
E 29.849854°		 ← 286.41 m →
82 038 m²		 N 20.293114°
E 29.852600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582920074462891 y=0.442409515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582920074462891 × 217)
    floor (0.582920074462891 × 131072)
    floor (76404.5)     		tx = 76404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442409515380859 × 217)
    floor (0.442409515380859 × 131072)
    floor (57987.5)     		ty = 57987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76404 / 57987 ti = "17/76404/57987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76404/57987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76404 ÷ 217
    76404 ÷ 131072     		x = 0.582916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57987 ÷ 217
    57987 ÷ 131072     		y = 0.442405700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582916259765625 × 2 - 1) × π
    0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442405700683594 × 2 - 1) × π
    0.115188598632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.361875655231804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52097823} λ = 0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361875655231804))-π/2
    2×atan(1.43602036923835)-π/2
    2×0.962511466519065-π/2
    1.92502293303813-1.57079632675     		φ = 0.35422661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35422661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.295690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76404 KachelY 57987 0.52097823 0.35422661 29.849854 20.295690
    Oben rechts KachelX + 1 76405 KachelY 57987 0.52102616 0.35422661 29.852600 20.295690
    Unten links KachelX 76404 KachelY + 1 57988 0.52097823 0.35418165 29.849854 20.293114
    Unten rechts KachelX + 1 76405 KachelY + 1 57988 0.52102616 0.35418165 29.852600 20.293114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35422661-0.35418165) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dl = 286.44015999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35422661-0.35418165) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dr = 286.44015999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52097823-0.52102616) × cos(0.35422661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937915031286906 × 6371000     		do = 286.403637921459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52097823-0.52102616) × cos(0.35418165) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937930625393618 × 6371000     		du = 286.40839976954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35422661)-sin(0.35418165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937915031286906-0.937930625393618)×R²
    abs(0.52102616-0.52097823)×1.55941067117027e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55941067117027e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55941067117027e-05×40589641000000     		ar = 82038.1858769178m²