Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76402 / 58610
↖ ↑ ↗
← N 18.682675°
E 29.844360°		 ← 289.33 m → N 18.682675°
E 29.847107°		 →
↑
289.31 m
↓
↑
289.31 m
↓
N 18.680073°
E 29.844360°		 ← 289.34 m →
83 706 m²		 N 18.680073°
E 29.847107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582904815673828 y=0.447162628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582904815673828 × 217)
    floor (0.582904815673828 × 131072)
    floor (76402.5)     		tx = 76402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447162628173828 × 217)
    floor (0.447162628173828 × 131072)
    floor (58610.5)     		ty = 58610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76402 / 58610 ti = "17/76402/58610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76402/58610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76402 ÷ 217
    76402 ÷ 131072     		x = 0.582901000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58610 ÷ 217
    58610 ÷ 131072     		y = 0.447158813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582901000976562 × 2 - 1) × π
    0.165802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52088235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447158813476562 × 2 - 1) × π
    0.105682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.332010966768509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52088235} λ = 0.52088235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.332010966768509))-π/2
    2×atan(1.39376813356118)-π/2
    2×0.948435259763374-π/2
    1.89687051952675-1.57079632675     		φ = 0.32607419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52088235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.844360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32607419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.682675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76402 KachelY 58610 0.52088235 0.32607419 29.844360 18.682675
    Oben rechts KachelX + 1 76403 KachelY 58610 0.52093029 0.32607419 29.847107 18.682675
    Unten links KachelX 76402 KachelY + 1 58611 0.52088235 0.32602878 29.844360 18.680073
    Unten rechts KachelX + 1 76403 KachelY + 1 58611 0.52093029 0.32602878 29.847107 18.680073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32607419-0.32602878) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dl = 289.307109999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32607419-0.32602878) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dr = 289.307109999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52088235-0.52093029) × cos(0.32607419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947307181436573 × 6371000     		do = 289.33199689739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52088235-0.52093029) × cos(0.32602878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947321726488877 × 6371000     		du = 289.336439330753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32607419)-sin(0.32602878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947307181436573-0.947321726488877)×R²
    abs(0.52093029-0.52088235)×1.45450523048041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45450523048041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45450523048041e-05×40589641000000     		ar = 83706.446481023m²