Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76400 / 59263
↖ ↑ ↗
← N 16.975368°
E 29.838867°		 ← 292.06 m → N 16.975368°
E 29.841614°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.972741°
E 29.838867°		 ← 292.06 m →
85 314 m²		 N 16.972741°
E 29.841614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582889556884766 y=0.452144622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582889556884766 × 217)
    floor (0.582889556884766 × 131072)
    floor (76400.5)     		tx = 76400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452144622802734 × 217)
    floor (0.452144622802734 × 131072)
    floor (59263.5)     		ty = 59263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76400 / 59263 ti = "17/76400/59263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76400/59263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76400 ÷ 217
    76400 ÷ 131072     		x = 0.5828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59263 ÷ 217
    59263 ÷ 131072     		y = 0.452140808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452140808105469 × 2 - 1) × π
    0.0957183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.300708171316612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52078648} λ = 0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300708171316612))-π/2
    2×atan(1.35081507742648)-π/2
    2×0.933536194650502-π/2
    1.867072389301-1.57079632675     		φ = 0.29627606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29627606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.975368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76400 KachelY 59263 0.52078648 0.29627606 29.838867 16.975368
    Oben rechts KachelX + 1 76401 KachelY 59263 0.52083441 0.29627606 29.841614 16.975368
    Unten links KachelX 76400 KachelY + 1 59264 0.52078648 0.29623021 29.838867 16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 76401 KachelY + 1 59264 0.52083441 0.29623021 29.841614 16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29627606-0.29623021) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29627606-0.29623021) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52078648-0.52083441) × cos(0.29627606) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.956430361934259 × 6371000     		do = 292.057516873382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52078648-0.52083441) × cos(0.29623021) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 292.061604261993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29627606)-sin(0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956430361934259-0.956443747320158)×R²
    abs(0.52083441-0.52078648)×1.33853858991229e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.33853858991229e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.33853858991229e-05×40589641000000     		ar = 85313.6204732162m²