Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 764 / 810
↖ ↑ ↗
← S 71.746432°
E 88.593750°		 ← 12.245 km → S 71.746432°
E 88.945313°		 →
↑
12.209 km
↓
↑
12.209 km
↓
S 71.856229°
E 88.593750°		 ← 12.173 km →
149.057 km²		 S 71.856229°
E 88.945313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74658203125 y=0.79150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74658203125 × 210)
    floor (0.74658203125 × 1024)
    floor (764.5)     		tx = 764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79150390625 × 210)
    floor (0.79150390625 × 1024)
    floor (810.5)     		ty = 810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 764 / 810 ti = "10/764/810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/764/810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 764 ÷ 210
    764 ÷ 1024     		x = 0.74609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 810 ÷ 210
    810 ÷ 1024     		y = 0.791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74609375 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791015625 × 2 - 1) × π
    -0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54625263} λ = 1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82850509910742))-π/2
    2×atan(0.160653549490571)-π/2
    2×0.159292433378349-π/2
    0.318584866756697-1.57079632675     		φ = -1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 764 KachelY 810 1.54625263 -1.25221146 88.593750 -71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 765 KachelY 810 1.55238856 -1.25221146 88.945313 -71.746432
    Unten links KachelX 764 KachelY + 1 811 1.54625263 -1.25412778 88.593750 -71.856229
    Unten rechts KachelX + 1 765 KachelY + 1 811 1.55238856 -1.25412778 88.945313 -71.856229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25221146--1.25412778) × R
    0.00191631999999986 × 6371000     		dl = 12208.8747199991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25221146--1.25412778) × R
    0.00191631999999986 × 6371000     		dr = 12208.8747199991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54625263-1.55238856) × cos(-1.25221146) × R
    0.00613593000000012 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 12244.5147628028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54625263-1.55238856) × cos(-1.25412778) × R
    0.00613593000000012 × 0.311402487470188 × 6371000     		du = 12173.3491635518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25221146)-sin(-1.25412778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.311402487470188)×R²
    abs(1.55238856-1.54625263)×0.00182046405893099×R²
    0.00613593000000012×0.00182046405893099×6371000²
    0.00613593000000012×0.00182046405893099×40589641000000     		ar = 149057366.418492m²