Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76397 / 58345
↖ ↑ ↗
← N 19.370750°
E 29.830628°		 ← 288.08 m → N 19.370750°
E 29.833374°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.368159°
E 29.830628°		 ← 288.08 m →
82 994 m²		 N 19.368159°
E 29.833374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582866668701172 y=0.445140838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582866668701172 × 217)
    floor (0.582866668701172 × 131072)
    floor (76397.5)     		tx = 76397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445140838623047 × 217)
    floor (0.445140838623047 × 131072)
    floor (58345.5)     		ty = 58345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76397 / 58345 ti = "17/76397/58345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76397/58345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76397 ÷ 217
    76397 ÷ 131072     		x = 0.582862854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58345 ÷ 217
    58345 ÷ 131072     		y = 0.445137023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582862854003906 × 2 - 1) × π
    0.165725708007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.52064267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445137023925781 × 2 - 1) × π
    0.109725952148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.344714245167824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52064267} λ = 0.52064267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344714245167824))-π/2
    2×atan(1.41158649436824)-π/2
    2×0.954439843205601-π/2
    1.9088796864112-1.57079632675     		φ = 0.33808336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52064267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.830628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33808336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.370750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76397 KachelY 58345 0.52064267 0.33808336 29.830628 19.370750
    Oben rechts KachelX + 1 76398 KachelY 58345 0.52069060 0.33808336 29.833374 19.370750
    Unten links KachelX 76397 KachelY + 1 58346 0.52064267 0.33803814 29.830628 19.368159
    Unten rechts KachelX + 1 76398 KachelY + 1 58346 0.52069060 0.33803814 29.833374 19.368159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33808336-0.33803814) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33808336-0.33803814) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52064267-0.52069060) × cos(0.33808336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943392108228999 × 6371000     		do = 288.076129254963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52064267-0.52069060) × cos(0.33803814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943407105814124 × 6371000     		du = 288.080708948002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33808336)-sin(0.33803814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943392108228999-0.943407105814124)×R²
    abs(0.52069060-0.52064267)×1.49975851245765e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49975851245765e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49975851245765e-05×40589641000000     		ar = 82994.418852305m²