Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76396 / 59867
↖ ↑ ↗
← N 15.382191°
E 29.827881°		 ← 294.48 m → N 15.382191°
E 29.830628°		 →
↑
294.47 m
↓
↑
294.47 m
↓
N 15.379543°
E 29.827881°		 ← 294.49 m →
86 717 m²		 N 15.379543°
E 29.830628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582859039306641 y=0.456752777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582859039306641 × 217)
    floor (0.582859039306641 × 131072)
    floor (76396.5)     		tx = 76396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456752777099609 × 217)
    floor (0.456752777099609 × 131072)
    floor (59867.5)     		ty = 59867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76396 / 59867 ti = "17/76396/59867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76396/59867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76396 ÷ 217
    76396 ÷ 131072     		x = 0.582855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59867 ÷ 217
    59867 ÷ 131072     		y = 0.456748962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582855224609375 × 2 - 1) × π
    0.16571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52059473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456748962402344 × 2 - 1) × π
    0.0865020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.271754283946098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52059473} λ = 0.52059473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271754283946098))-π/2
    2×atan(1.31226451723412)-π/2
    2×0.91963310544801-π/2
    1.83926621089602-1.57079632675     		φ = 0.26846988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52059473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.827881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26846988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.382191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76396 KachelY 59867 0.52059473 0.26846988 29.827881 15.382191
    Oben rechts KachelX + 1 76397 KachelY 59867 0.52064267 0.26846988 29.830628 15.382191
    Unten links KachelX 76396 KachelY + 1 59868 0.52059473 0.26842366 29.827881 15.379543
    Unten rechts KachelX + 1 76397 KachelY + 1 59868 0.52064267 0.26842366 29.830628 15.379543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26846988-0.26842366) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dl = 294.467619999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26846988-0.26842366) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dr = 294.467619999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52059473-0.52064267) × cos(0.26846988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964177899090159 × 6371000     		do = 294.484748321064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52059473-0.52064267) × cos(0.26842366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964190158212925 × 6371000     		du = 294.488492572707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26846988)-sin(0.26842366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964177899090159-0.964190158212925)×R²
    abs(0.52064267-0.52059473)×1.22591227665891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22591227665891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22591227665891e-05×40589641000000     		ar = 86716.7742602625m²