Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76396 / 58478
↖ ↑ ↗
← N 19.025770°
E 29.827881°		 ← 288.74 m → N 19.025770°
E 29.830628°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
N 19.023174°
E 29.827881°		 ← 288.75 m →
83 352 m²		 N 19.023174°
E 29.830628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582859039306641 y=0.446155548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582859039306641 × 217)
    floor (0.582859039306641 × 131072)
    floor (76396.5)     		tx = 76396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446155548095703 × 217)
    floor (0.446155548095703 × 131072)
    floor (58478.5)     		ty = 58478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76396 / 58478 ti = "17/76396/58478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76396/58478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76396 ÷ 217
    76396 ÷ 131072     		x = 0.582855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58478 ÷ 217
    58478 ÷ 131072     		y = 0.446151733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582855224609375 × 2 - 1) × π
    0.16571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52059473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446151733398438 × 2 - 1) × π
    0.107696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.338338637518356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52059473} λ = 0.52059473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338338637518356))-π/2
    2×atan(1.40261540119035)-π/2
    2×0.951429330413866-π/2
    1.90285866082773-1.57079632675     		φ = 0.33206233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52059473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.827881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33206233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.025770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76396 KachelY 58478 0.52059473 0.33206233 29.827881 19.025770
    Oben rechts KachelX + 1 76397 KachelY 58478 0.52064267 0.33206233 29.830628 19.025770
    Unten links KachelX 76396 KachelY + 1 58479 0.52059473 0.33201702 29.827881 19.023174
    Unten rechts KachelX + 1 76397 KachelY + 1 58479 0.52064267 0.33201702 29.830628 19.023174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33206233-0.33201702) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dl = 288.670010000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33206233-0.33201702) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dr = 288.670010000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52059473-0.52064267) × cos(0.33206233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945372048488048 × 6371000     		do = 288.740957484589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52059473-0.52064267) × cos(0.33201702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945386818278095 × 6371000     		du = 288.745468558643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33206233)-sin(0.33201702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945372048488048-0.945386818278095)×R²
    abs(0.52064267-0.52059473)×1.47697900465538e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47697900465538e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47697900465538e-05×40589641000000     		ar = 83351.5062046795m²