Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76395 / 59868
↖ ↑ ↗
← N 15.379543°
E 29.825134°		 ← 294.49 m → N 15.379543°
E 29.827881°		 →
↑
294.47 m
↓
↑
294.47 m
↓
N 15.376895°
E 29.825134°		 ← 294.49 m →
86 718 m²		 N 15.376895°
E 29.827881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582851409912109 y=0.456760406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582851409912109 × 217)
    floor (0.582851409912109 × 131072)
    floor (76395.5)     		tx = 76395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456760406494141 × 217)
    floor (0.456760406494141 × 131072)
    floor (59868.5)     		ty = 59868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76395 / 59868 ti = "17/76395/59868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76395/59868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76395 ÷ 217
    76395 ÷ 131072     		x = 0.582847595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59868 ÷ 217
    59868 ÷ 131072     		y = 0.456756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582847595214844 × 2 - 1) × π
    0.165695190429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.52054679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456756591796875 × 2 - 1) × π
    0.08648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.271706347046478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52054679} λ = 0.52054679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271706347046478))-π/2
    2×atan(1.31220161284942)-π/2
    2×0.919609995451534-π/2
    1.83921999090307-1.57079632675     		φ = 0.26842366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52054679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.825134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26842366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.379543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76395 KachelY 59868 0.52054679 0.26842366 29.825134 15.379543
    Oben rechts KachelX + 1 76396 KachelY 59868 0.52059473 0.26842366 29.827881 15.379543
    Unten links KachelX 76395 KachelY + 1 59869 0.52054679 0.26837744 29.825134 15.376895
    Unten rechts KachelX + 1 76396 KachelY + 1 59869 0.52059473 0.26837744 29.827881 15.376895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26842366-0.26837744) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dl = 294.467619999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26842366-0.26837744) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dr = 294.467619999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52054679-0.52059473) × cos(0.26842366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964190158212925 × 6371000     		do = 294.488492572707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52054679-0.52059473) × cos(0.26837744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964202415275904 × 6371000     		du = 294.492236195237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26842366)-sin(0.26837744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964190158212925-0.964202415275904)×R²
    abs(0.52059473-0.52054679)×1.22570629783603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22570629783603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22570629783603e-05×40589641000000     		ar = 86717.8767285386m²