Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76394 / 59272
↖ ↑ ↗
← N 16.951724°
E 29.822388°		 ← 292.09 m → N 16.951724°
E 29.825134°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.949097°
E 29.822388°		 ← 292.10 m →
85 324 m²		 N 16.949097°
E 29.825134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582843780517578 y=0.452213287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582843780517578 × 217)
    floor (0.582843780517578 × 131072)
    floor (76394.5)     		tx = 76394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452213287353516 × 217)
    floor (0.452213287353516 × 131072)
    floor (59272.5)     		ty = 59272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76394 / 59272 ti = "17/76394/59272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76394/59272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76394 ÷ 217
    76394 ÷ 131072     		x = 0.582839965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59272 ÷ 217
    59272 ÷ 131072     		y = 0.45220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582839965820312 × 2 - 1) × π
    0.165679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52049886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45220947265625 × 2 - 1) × π
    0.0955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.300276739220032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52049886} λ = 0.52049886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300276739220032))-π/2
    2×atan(1.35023241814353)-π/2
    2×0.933329864283841-π/2
    1.86665972856768-1.57079632675     		φ = 0.29586340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52049886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.822388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29586340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.951724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76394 KachelY 59272 0.52049886 0.29586340 29.822388 16.951724
    Oben rechts KachelX + 1 76395 KachelY 59272 0.52054679 0.29586340 29.825134 16.951724
    Unten links KachelX 76394 KachelY + 1 59273 0.52049886 0.29581755 29.822388 16.949097
    Unten rechts KachelX + 1 76395 KachelY + 1 59273 0.52054679 0.29581755 29.825134 16.949097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29586340-0.29581755) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29586340-0.29581755) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52049886-0.52054679) × cos(0.29586340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956550760936975 × 6371000     		do = 292.094282157938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52049886-0.52054679) × cos(0.29581755) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956564128225506 × 6371000     		du = 292.098364020299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29586340)-sin(0.29581755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956550760936975-0.956564128225506)×R²
    abs(0.52054679-0.52049886)×1.33672885300751e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33672885300751e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33672885300751e-05×40589641000000     		ar = 85324.3591862078m²