Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76393 / 57991
↖ ↑ ↗
← N 20.285385°
E 29.819641°		 ← 286.48 m → N 20.285385°
E 29.822388°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.282809°
E 29.819641°		 ← 286.49 m →
82 079 m²		 N 20.282809°
E 29.822388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582836151123047 y=0.442440032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582836151123047 × 217)
    floor (0.582836151123047 × 131072)
    floor (76393.5)     		tx = 76393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442440032958984 × 217)
    floor (0.442440032958984 × 131072)
    floor (57991.5)     		ty = 57991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76393 / 57991 ti = "17/76393/57991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76393/57991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76393 ÷ 217
    76393 ÷ 131072     		x = 0.582832336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57991 ÷ 217
    57991 ÷ 131072     		y = 0.442436218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582832336425781 × 2 - 1) × π
    0.165664672851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.52045092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442436218261719 × 2 - 1) × π
    0.115127563476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.361683907633324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52045092} λ = 0.52045092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361683907633324))-π/2
    2×atan(1.43574504217868)-π/2
    2×0.962421542051582-π/2
    1.92484308410316-1.57079632675     		φ = 0.35404676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52045092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.819641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35404676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.285385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76393 KachelY 57991 0.52045092 0.35404676 29.819641 20.285385
    Oben rechts KachelX + 1 76394 KachelY 57991 0.52049886 0.35404676 29.822388 20.285385
    Unten links KachelX 76393 KachelY + 1 57992 0.52045092 0.35400179 29.819641 20.282809
    Unten rechts KachelX + 1 76394 KachelY + 1 57992 0.52049886 0.35400179 29.822388 20.282809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35404676-0.35400179) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35404676-0.35400179) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52045092-0.52049886) × cos(0.35404676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937977399804984 × 6371000     		do = 286.482441438525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52045092-0.52049886) × cos(0.35400179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93799298979389 × 6371000     		du = 286.487203022423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35404676)-sin(0.35400179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937977399804984-0.93799298979389)×R²
    abs(0.52049886-0.52045092)×1.55899889052735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55899889052735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55899889052735e-05×40589641000000     		ar = 82079.0102792111m²