Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76390 / 59265
↖ ↑ ↗
← N 16.970114°
E 29.811401°		 ← 292.13 m → N 16.970114°
E 29.814148°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.967487°
E 29.811401°		 ← 292.13 m →
85 334 m²		 N 16.967487°
E 29.814148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582813262939453 y=0.452159881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582813262939453 × 217)
    floor (0.582813262939453 × 131072)
    floor (76390.5)     		tx = 76390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452159881591797 × 217)
    floor (0.452159881591797 × 131072)
    floor (59265.5)     		ty = 59265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76390 / 59265 ti = "17/76390/59265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76390/59265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76390 ÷ 217
    76390 ÷ 131072     		x = 0.582809448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59265 ÷ 217
    59265 ÷ 131072     		y = 0.452156066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582809448242188 × 2 - 1) × π
    0.165618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52030711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452156066894531 × 2 - 1) × π
    0.0956878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.300612297517372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52030711} λ = 0.52030711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300612297517372))-π/2
    2×atan(1.35068557586094)-π/2
    2×0.933490345702664-π/2
    1.86698069140533-1.57079632675     		φ = 0.29618436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52030711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.811401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29618436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.970114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76390 KachelY 59265 0.52030711 0.29618436 29.811401 16.970114
    Oben rechts KachelX + 1 76391 KachelY 59265 0.52035505 0.29618436 29.814148 16.970114
    Unten links KachelX 76390 KachelY + 1 59266 0.52030711 0.29613851 29.811401 16.967487
    Unten rechts KachelX + 1 76391 KachelY + 1 59266 0.52035505 0.29613851 29.814148 16.967487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29618436-0.29613851) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dl = 292.110349999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29618436-0.29613851) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dr = 292.110349999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(0.29618436) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.9564571306954 × 6371000     		do = 292.126626921404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(0.29613851) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.956470512059956 × 6371000     		du = 292.130713934576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29618436)-sin(0.29613851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9564571306954-0.956470512059956)×R²
    abs(0.52035505-0.52030711)×1.33813645558645e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.33813645558645e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.33813645558645e-05×40589641000000     		ar = 85333.808178613m²