Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76390 / 58601
↖ ↑ ↗
← N 18.706090°
E 29.811401°		 ← 289.29 m → N 18.706090°
E 29.814148°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 18.703489°
E 29.811401°		 ← 289.30 m →
83 676 m²		 N 18.703489°
E 29.814148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582813262939453 y=0.447093963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582813262939453 × 217)
    floor (0.582813262939453 × 131072)
    floor (76390.5)     		tx = 76390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447093963623047 × 217)
    floor (0.447093963623047 × 131072)
    floor (58601.5)     		ty = 58601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76390 / 58601 ti = "17/76390/58601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76390/58601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76390 ÷ 217
    76390 ÷ 131072     		x = 0.582809448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58601 ÷ 217
    58601 ÷ 131072     		y = 0.447090148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582809448242188 × 2 - 1) × π
    0.165618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52030711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447090148925781 × 2 - 1) × π
    0.105819702148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.332442398865089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52030711} λ = 0.52030711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.332442398865089))-π/2
    2×atan(1.39436957960142)-π/2
    2×0.948639594999389-π/2
    1.89727918999878-1.57079632675     		φ = 0.32648286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52030711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.811401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32648286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.706090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76390 KachelY 58601 0.52030711 0.32648286 29.811401 18.706090
    Oben rechts KachelX + 1 76391 KachelY 58601 0.52035505 0.32648286 29.814148 18.706090
    Unten links KachelX 76390 KachelY + 1 58602 0.52030711 0.32643746 29.811401 18.703489
    Unten rechts KachelX + 1 76391 KachelY + 1 58602 0.52035505 0.32643746 29.814148 18.703489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32648286-0.32643746) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dl = 289.24339999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32648286-0.32643746) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dr = 289.24339999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(0.32648286) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947176194480168 × 6371000     		do = 289.291990109969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(0.32643746) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947190753904533 × 6371000     		du = 289.29643693293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32648286)-sin(0.32643746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947176194480168-0.947190753904533)×R²
    abs(0.52035505-0.52030711)×1.45594243649017e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.45594243649017e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.45594243649017e-05×40589641000000     		ar = 83676.4419336766m²