Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76390 / 58598
↖ ↑ ↗
← N 18.713894°
E 29.811401°		 ← 289.28 m → N 18.713894°
E 29.814148°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 18.711293°
E 29.811401°		 ← 289.28 m →
83 673 m²		 N 18.711293°
E 29.814148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582813262939453 y=0.447071075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582813262939453 × 217)
    floor (0.582813262939453 × 131072)
    floor (76390.5)     		tx = 76390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447071075439453 × 217)
    floor (0.447071075439453 × 131072)
    floor (58598.5)     		ty = 58598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76390 / 58598 ti = "17/76390/58598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76390/58598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76390 ÷ 217
    76390 ÷ 131072     		x = 0.582809448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58598 ÷ 217
    58598 ÷ 131072     		y = 0.447067260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582809448242188 × 2 - 1) × π
    0.165618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52030711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447067260742188 × 2 - 1) × π
    0.105865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.33258620956395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52030711} λ = 0.52030711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33258620956395))-π/2
    2×atan(1.39457011928466)-π/2
    2×0.948707700463747-π/2
    1.89741540092749-1.57079632675     		φ = 0.32661907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52030711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.811401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32661907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.713894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76390 KachelY 58598 0.52030711 0.32661907 29.811401 18.713894
    Oben rechts KachelX + 1 76391 KachelY 58598 0.52035505 0.32661907 29.814148 18.713894
    Unten links KachelX 76390 KachelY + 1 58599 0.52030711 0.32657367 29.811401 18.711293
    Unten rechts KachelX + 1 76391 KachelY + 1 58599 0.52035505 0.32657367 29.814148 18.711293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32661907-0.32657367) × R
    4.54000000000288e-05 × 6371000     		dl = 289.243400000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32661907-0.32657367) × R
    4.54000000000288e-05 × 6371000     		dr = 289.243400000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(0.32661907) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947132501285076 × 6371000     		do = 289.278645083526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(0.32657367) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947147066566626 × 6371000     		du = 289.283093695421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32661907)-sin(0.32657367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947132501285076-0.947147066566626)×R²
    abs(0.52035505-0.52030711)×1.45652815499719e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.45652815499719e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.45652815499719e-05×40589641000000     		ar = 83672.5822315495m²