Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7639 / 5112
↖ ↑ ↗
← N 55.875311°
W 12.150879°		 ← 1 370.63 m → N 55.875311°
W 12.128906°		 →
↑
1 370.85 m
↓
↑
1 370.85 m
↓
N 55.862982°
W 12.150879°		 ← 1 371.07 m →
1 879 228 m²		 N 55.862982°
W 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466278076171875 y=0.312042236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466278076171875 × 214)
    floor (0.466278076171875 × 16384)
    floor (7639.5)     		tx = 7639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312042236328125 × 214)
    floor (0.312042236328125 × 16384)
    floor (5112.5)     		ty = 5112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7639 / 5112 ti = "14/7639/5112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7639/5112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7639 ÷ 214
    7639 ÷ 16384     		x = 0.46624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5112 ÷ 214
    5112 ÷ 16384     		y = 0.31201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21207284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31201171875 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21207284} λ = -0.21207284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18116520663818))-π/2
    2×atan(3.25816843141486)-π/2
    2×1.27300223571707-π/2
    2.54600447143413-1.57079632675     		φ = 0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21207284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.150879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7639 KachelY 5112 -0.21207284 0.97520814 -12.150879 55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 7640 KachelY 5112 -0.21168935 0.97520814 -12.128906 55.875311
    Unten links KachelX 7639 KachelY + 1 5113 -0.21207284 0.97499297 -12.150879 55.862982
    Unten rechts KachelX + 1 7640 KachelY + 1 5113 -0.21168935 0.97499297 -12.128906 55.862982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97520814-0.97499297) × R
    0.000215170000000042 × 6371000     		dl = 1370.84807000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97520814-0.97499297) × R
    0.000215170000000042 × 6371000     		dr = 1370.84807000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21207284--0.21168935) × cos(0.97520814) × R
    0.000383490000000014 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 1370.63314656935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21207284--0.21168935) × cos(0.97499297) × R
    0.000383490000000014 × 0.561173872279749 × 6371000     		du = 1371.0683045155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97520814)-sin(0.97499297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.561173872279749)×R²
    abs(-0.21168935--0.21207284)×0.000178108755700346×R²
    0.000383490000000014×0.000178108755700346×6371000²
    0.000383490000000014×0.000178108755700346×40589641000000     		ar = 1879228.07861853m²