Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7639 / 5048
↖ ↑ ↗
← N 56.656226°
W 12.150879°		 ← 1 342.94 m → N 56.656226°
W 12.128906°		 →
↑
1 343.13 m
↓
↑
1 343.13 m
↓
N 56.644147°
W 12.150879°		 ← 1 343.37 m →
1 804 038 m²		 N 56.644147°
W 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466278076171875 y=0.308135986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466278076171875 × 214)
    floor (0.466278076171875 × 16384)
    floor (7639.5)     		tx = 7639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308135986328125 × 214)
    floor (0.308135986328125 × 16384)
    floor (5048.5)     		ty = 5048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7639 / 5048 ti = "14/7639/5048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7639/5048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7639 ÷ 214
    7639 ÷ 16384     		x = 0.46624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5048 ÷ 214
    5048 ÷ 16384     		y = 0.30810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21207284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30810546875 × 2 - 1) × π
    0.3837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20570889924365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21207284} λ = -0.21207284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20570889924365))-π/2
    2×atan(3.33912534267661)-π/2
    2×1.2798170104216-π/2
    2.55963402084321-1.57079632675     		φ = 0.98883769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21207284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.150879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98883769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.656226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7639 KachelY 5048 -0.21207284 0.98883769 -12.150879 56.656226
    Oben rechts KachelX + 1 7640 KachelY 5048 -0.21168935 0.98883769 -12.128906 56.656226
    Unten links KachelX 7639 KachelY + 1 5049 -0.21207284 0.98862687 -12.150879 56.644147
    Unten rechts KachelX + 1 7640 KachelY + 1 5049 -0.21168935 0.98862687 -12.128906 56.644147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98883769-0.98862687) × R
    0.000210819999999945 × 6371000     		dl = 1343.13421999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98883769-0.98862687) × R
    0.000210819999999945 × 6371000     		dr = 1343.13421999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21207284--0.21168935) × cos(0.98883769) × R
    0.000383490000000014 × 0.549661211087751 × 6371000     		do = 1342.94040041896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21207284--0.21168935) × cos(0.98862687) × R
    0.000383490000000014 × 0.549837315299393 × 6371000     		du = 1343.37066083342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98883769)-sin(0.98862687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549661211087751-0.549837315299393)×R²
    abs(-0.21168935--0.21207284)×0.000176104211641159×R²
    0.000383490000000014×0.000176104211641159×6371000²
    0.000383490000000014×0.000176104211641159×40589641000000     		ar = 1804038.16264783m²