Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76389 / 58005
↖ ↑ ↗
← N 20.249313°
E 29.808655°		 ← 286.55 m → N 20.249313°
E 29.811401°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.246737°
E 29.808655°		 ← 286.55 m →
82 098 m²		 N 20.246737°
E 29.811401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582805633544922 y=0.442546844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582805633544922 × 217)
    floor (0.582805633544922 × 131072)
    floor (76389.5)     		tx = 76389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442546844482422 × 217)
    floor (0.442546844482422 × 131072)
    floor (58005.5)     		ty = 58005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76389 / 58005 ti = "17/76389/58005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76389/58005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76389 ÷ 217
    76389 ÷ 131072     		x = 0.582801818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58005 ÷ 217
    58005 ÷ 131072     		y = 0.442543029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582801818847656 × 2 - 1) × π
    0.165603637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52025917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442543029785156 × 2 - 1) × π
    0.114913940429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.361012791038643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52025917} λ = 0.52025917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361012791038643))-π/2
    2×atan(1.4347818131108)-π/2
    2×0.962106759353428-π/2
    1.92421351870686-1.57079632675     		φ = 0.35341719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52025917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.808655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35341719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.249313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76389 KachelY 58005 0.52025917 0.35341719 29.808655 20.249313
    Oben rechts KachelX + 1 76390 KachelY 58005 0.52030711 0.35341719 29.811401 20.249313
    Unten links KachelX 76389 KachelY + 1 58006 0.52025917 0.35337222 29.808655 20.246737
    Unten rechts KachelX + 1 76390 KachelY + 1 58006 0.52030711 0.35337222 29.811401 20.246737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35341719-0.35337222) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35341719-0.35337222) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52025917-0.52030711) × cos(0.35341719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938195483558859 × 6371000     		do = 286.549049830434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52025917-0.52030711) × cos(0.35337222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938211046988662 × 6371000     		du = 286.553803302499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35341719)-sin(0.35337222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938195483558859-0.938211046988662)×R²
    abs(0.52030711-0.52025917)×1.55634298029117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55634298029117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55634298029117e-05×40589641000000     		ar = 82098.0926791248m²