Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76387 / 59267
↖ ↑ ↗
← N 16.964860°
E 29.803162°		 ← 292.07 m → N 16.964860°
E 29.805908°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.962233°
E 29.803162°		 ← 292.08 m →
85 318 m²		 N 16.962233°
E 29.805908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582790374755859 y=0.452175140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582790374755859 × 217)
    floor (0.582790374755859 × 131072)
    floor (76387.5)     		tx = 76387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452175140380859 × 217)
    floor (0.452175140380859 × 131072)
    floor (59267.5)     		ty = 59267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76387 / 59267 ti = "17/76387/59267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76387/59267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76387 ÷ 217
    76387 ÷ 131072     		x = 0.582786560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59267 ÷ 217
    59267 ÷ 131072     		y = 0.452171325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582786560058594 × 2 - 1) × π
    0.165573120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.52016330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452171325683594 × 2 - 1) × π
    0.0956573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.300516423718132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52016330} λ = 0.52016330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300516423718132))-π/2
    2×atan(1.35055608671061)-π/2
    2×0.933444495471818-π/2
    1.86688899094364-1.57079632675     		φ = 0.29609266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52016330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.803162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29609266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.964860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76387 KachelY 59267 0.52016330 0.29609266 29.803162 16.964860
    Oben rechts KachelX + 1 76388 KachelY 59267 0.52021123 0.29609266 29.805908 16.964860
    Unten links KachelX 76387 KachelY + 1 59268 0.52016330 0.29604681 29.803162 16.962233
    Unten rechts KachelX + 1 76388 KachelY + 1 59268 0.52021123 0.29604681 29.805908 16.962233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29609266-0.29604681) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29609266-0.29604681) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52016330-0.52021123) × cos(0.29609266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956483891413798 × 6371000     		do = 292.073862744596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52016330-0.52021123) × cos(0.29604681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.956497268756898 × 6371000     		du = 292.077947677241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29609266)-sin(0.29604681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956483891413798-0.956497268756898)×R²
    abs(0.52021123-0.52016330)×1.33773431001405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33773431001405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33773431001405e-05×40589641000000     		ar = 85318.3949127149m²