Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76386 / 61982
↖ ↑ ↗
← N  9.714471°
E 29.800415°		 ← 301.05 m → N  9.714471°
E 29.803162°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
N  9.711764°
E 29.800415°		 ← 301.05 m →
90 624 m²		 N  9.711764°
E 29.803162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582782745361328 y=0.472888946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582782745361328 × 217)
    floor (0.582782745361328 × 131072)
    floor (76386.5)     		tx = 76386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472888946533203 × 217)
    floor (0.472888946533203 × 131072)
    floor (61982.5)     		ty = 61982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76386 / 61982 ti = "17/76386/61982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76386/61982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76386 ÷ 217
    76386 ÷ 131072     		x = 0.582778930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61982 ÷ 217
    61982 ÷ 131072     		y = 0.472885131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582778930664062 × 2 - 1) × π
    0.165557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52011536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472885131835938 × 2 - 1) × π
    0.054229736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.17036774124968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52011536} λ = 0.52011536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.17036774124968))-π/2
    2×atan(1.185740816964)-π/2
    2×0.870172919859611-π/2
    1.74034583971922-1.57079632675     		φ = 0.16954951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52011536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.800415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16954951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76386 KachelY 61982 0.52011536 0.16954951 29.800415 9.714471
    Oben rechts KachelX + 1 76387 KachelY 61982 0.52016330 0.16954951 29.803162 9.714471
    Unten links KachelX 76386 KachelY + 1 61983 0.52011536 0.16950226 29.800415 9.711764
    Unten rechts KachelX + 1 76387 KachelY + 1 61983 0.52016330 0.16950226 29.803162 9.711764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16954951-0.16950226) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16954951-0.16950226) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52011536-0.52016330) × cos(0.16954951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.985660881855518 × 6371000     		do = 301.046204229577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52011536-0.52016330) × cos(0.16950226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.985668853641609 × 6371000     		du = 301.048639018243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16954951)-sin(0.16950226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985660881855518-0.985668853641609)×R²
    abs(0.52016330-0.52011536)×7.97178609035498e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.97178609035498e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.97178609035498e-06×40589641000000     		ar = 90624.2300864654m²