Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76386 / 59269
↖ ↑ ↗
← N 16.959606°
E 29.800415°		 ← 292.14 m → N 16.959606°
E 29.803162°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 16.956979°
E 29.800415°		 ← 292.15 m →
85 339 m²		 N 16.956979°
E 29.803162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582782745361328 y=0.452190399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582782745361328 × 217)
    floor (0.582782745361328 × 131072)
    floor (76386.5)     		tx = 76386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452190399169922 × 217)
    floor (0.452190399169922 × 131072)
    floor (59269.5)     		ty = 59269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76386 / 59269 ti = "17/76386/59269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76386/59269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76386 ÷ 217
    76386 ÷ 131072     		x = 0.582778930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59269 ÷ 217
    59269 ÷ 131072     		y = 0.452186584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582778930664062 × 2 - 1) × π
    0.165557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52011536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452186584472656 × 2 - 1) × π
    0.0956268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.300420549918892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52011536} λ = 0.52011536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300420549918892))-π/2
    2×atan(1.3504266099743)-π/2
    2×0.933398643958314-π/2
    1.86679728791663-1.57079632675     		φ = 0.29600096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52011536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.800415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29600096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.959606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76386 KachelY 59269 0.52011536 0.29600096 29.800415 16.959606
    Oben rechts KachelX + 1 76387 KachelY 59269 0.52016330 0.29600096 29.803162 16.959606
    Unten links KachelX 76386 KachelY + 1 59270 0.52011536 0.29595511 29.800415 16.956979
    Unten rechts KachelX + 1 76387 KachelY + 1 59270 0.52016330 0.29595511 29.803162 16.956979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29600096-0.29595511) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dl = 292.110349999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29600096-0.29595511) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dr = 292.110349999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52011536-0.52016330) × cos(0.29600096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956510644089228 × 6371000     		do = 292.142971288638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52011536-0.52016330) × cos(0.29595511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95652401741076 × 6371000     		du = 292.147055845263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29600096)-sin(0.29595511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956510644089228-0.95652401741076)×R²
    abs(0.52016330-0.52011536)×1.33733215318399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33733215318399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33733215318399e-05×40589641000000     		ar = 85338.5821786176m²