Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76384 / 60000
↖ ↑ ↗
← N 15.029686°
E 29.794922°		 ← 294.92 m → N 15.029686°
E 29.797668°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 15.027033°
E 29.794922°		 ← 294.92 m →
86 994 m²		 N 15.027033°
E 29.797668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582767486572266 y=0.457767486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582767486572266 × 217)
    floor (0.582767486572266 × 131072)
    floor (76384.5)     		tx = 76384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457767486572266 × 217)
    floor (0.457767486572266 × 131072)
    floor (60000.5)     		ty = 60000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76384 / 60000 ti = "17/76384/60000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76384/60000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76384 ÷ 217
    76384 ÷ 131072     		x = 0.582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60000 ÷ 217
    60000 ÷ 131072     		y = 0.457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    0.08447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265378676296631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52001949} λ = 0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265378676296631))-π/2
    2×atan(1.30392464765821)-π/2
    2×0.916556914389781-π/2
    1.83311382877956-1.57079632675     		φ = 0.26231750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26231750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.029686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76384 KachelY 60000 0.52001949 0.26231750 29.794922 15.029686
    Oben rechts KachelX + 1 76385 KachelY 60000 0.52006742 0.26231750 29.797668 15.029686
    Unten links KachelX 76384 KachelY + 1 60001 0.52001949 0.26227120 29.794922 15.027033
    Unten rechts KachelX + 1 76385 KachelY + 1 60001 0.52006742 0.26227120 29.797668 15.027033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26231750-0.26227120) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26231750-0.26227120) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52001949-0.52006742) × cos(0.26231750) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.965791599343304 × 6371000     		do = 294.916083331915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52001949-0.52006742) × cos(0.26227120) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.965803604799503 × 6371000     		du = 294.919749342391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26231750)-sin(0.26227120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965791599343304-0.965803604799503)×R²
    abs(0.52006742-0.52001949)×1.20054561989491e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.20054561989491e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.20054561989491e-05×40589641000000     		ar = 86994.0906983195m²