Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76380 / 58740
↖ ↑ ↗
← N 18.344098°
E 29.783936°		 ← 289.91 m → N 18.344098°
E 29.786682°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
N 18.341491°
E 29.783936°		 ← 289.91 m →
84 038 m²		 N 18.341491°
E 29.786682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582736968994141 y=0.448154449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582736968994141 × 217)
    floor (0.582736968994141 × 131072)
    floor (76380.5)     		tx = 76380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448154449462891 × 217)
    floor (0.448154449462891 × 131072)
    floor (58740.5)     		ty = 58740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76380 / 58740 ti = "17/76380/58740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76380/58740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76380 ÷ 217
    76380 ÷ 131072     		x = 0.582733154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58740 ÷ 217
    58740 ÷ 131072     		y = 0.448150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582733154296875 × 2 - 1) × π
    0.16546630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51982774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448150634765625 × 2 - 1) × π
    0.10369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.325779169817902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51982774} λ = 0.51982774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325779169817902))-π/2
    2×atan(1.38510946112267)-π/2
    2×0.945480615870293-π/2
    1.89096123174059-1.57079632675     		φ = 0.32016490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51982774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.783936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32016490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.344098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76380 KachelY 58740 0.51982774 0.32016490 29.783936 18.344098
    Oben rechts KachelX + 1 76381 KachelY 58740 0.51987568 0.32016490 29.786682 18.344098
    Unten links KachelX 76380 KachelY + 1 58741 0.51982774 0.32011940 29.783936 18.341491
    Unten rechts KachelX + 1 76381 KachelY + 1 58741 0.51987568 0.32011940 29.786682 18.341491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32016490-0.32011940) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dl = 289.880499999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32016490-0.32011940) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dr = 289.880499999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51982774-0.51987568) × cos(0.32016490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949183533151021 × 6371000     		do = 289.905083008275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51982774-0.51987568) × cos(0.32011940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949197852068872 × 6371000     		du = 289.909456374356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32016490)-sin(0.32011940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949183533151021-0.949197852068872)×R²
    abs(0.51987568-0.51982774)×1.4318917850753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4318917850753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4318917850753e-05×40589641000000     		ar = 84038.464306164m²