Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76380 / 58588
↖ ↑ ↗
← N 18.739907°
E 29.783936°		 ← 289.23 m → N 18.739907°
E 29.786682°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 18.737305°
E 29.783936°		 ← 289.24 m →
83 660 m²		 N 18.737305°
E 29.786682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582736968994141 y=0.446994781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582736968994141 × 217)
    floor (0.582736968994141 × 131072)
    floor (76380.5)     		tx = 76380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446994781494141 × 217)
    floor (0.446994781494141 × 131072)
    floor (58588.5)     		ty = 58588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76380 / 58588 ti = "17/76380/58588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76380/58588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76380 ÷ 217
    76380 ÷ 131072     		x = 0.582733154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58588 ÷ 217
    58588 ÷ 131072     		y = 0.446990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582733154296875 × 2 - 1) × π
    0.16546630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51982774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446990966796875 × 2 - 1) × π
    0.10601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.33306557856015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51982774} λ = 0.51982774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33306557856015))-π/2
    2×atan(1.39523879322085)-π/2
    2×0.948934695977202-π/2
    1.8978693919544-1.57079632675     		φ = 0.32707307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51982774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.783936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32707307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.739907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76380 KachelY 58588 0.51982774 0.32707307 29.783936 18.739907
    Oben rechts KachelX + 1 76381 KachelY 58588 0.51987568 0.32707307 29.786682 18.739907
    Unten links KachelX 76380 KachelY + 1 58589 0.51982774 0.32702767 29.783936 18.737305
    Unten rechts KachelX + 1 76381 KachelY + 1 58589 0.51987568 0.32702767 29.786682 18.737305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32707307-0.32702767) × R
    4.54000000000288e-05 × 6371000     		dl = 289.243400000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32707307-0.32702767) × R
    4.54000000000288e-05 × 6371000     		dr = 289.243400000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51982774-0.51987568) × cos(0.32707307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946986741103993 × 6371000     		do = 289.234126171686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51982774-0.51987568) × cos(0.32702767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947001325906107 × 6371000     		du = 289.238580745664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32707307)-sin(0.32702767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946986741103993-0.947001325906107)×R²
    abs(0.51987568-0.51982774)×1.45848021145811e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45848021145811e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45848021145811e-05×40589641000000     		ar = 83659.7062923508m²