Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7638 / 4294
↖ ↑ ↗
← N 64.717880°
W 12.172852°		 ← 1 043.46 m → N 64.717880°
W 12.150879°		 →
↑
1 043.63 m
↓
↑
1 043.63 m
↓
N 64.708494°
W 12.172852°		 ← 1 043.83 m →
1 089 184 m²		 N 64.708494°
W 12.150879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466217041015625 y=0.262115478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466217041015625 × 214)
    floor (0.466217041015625 × 16384)
    floor (7638.5)     		tx = 7638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262115478515625 × 214)
    floor (0.262115478515625 × 16384)
    floor (4294.5)     		ty = 4294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7638 / 4294 ti = "14/7638/4294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7638/4294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7638 ÷ 214
    7638 ÷ 16384     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4294 ÷ 214
    4294 ÷ 16384     		y = 0.2620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2620849609375 × 2 - 1) × π
    0.475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49486427775183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49486427775183))-π/2
    2×atan(4.45873136273534)-π/2
    2×1.35016820820519-π/2
    2.70033641641038-1.57079632675     		φ = 1.12954009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12954009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.717880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7638 KachelY 4294 -0.21245634 1.12954009 -12.172852 64.717880
    Oben rechts KachelX + 1 7639 KachelY 4294 -0.21207284 1.12954009 -12.150879 64.717880
    Unten links KachelX 7638 KachelY + 1 4295 -0.21245634 1.12937628 -12.172852 64.708494
    Unten rechts KachelX + 1 7639 KachelY + 1 4295 -0.21207284 1.12937628 -12.150879 64.708494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12954009-1.12937628) × R
    0.000163810000000097 × 6371000     		dl = 1043.63351000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12954009-1.12937628) × R
    0.000163810000000097 × 6371000     		dr = 1043.63351000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21207284) × cos(1.12954009) × R
    0.000383499999999981 × 0.427075711002566 × 6371000     		do = 1043.46490256473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21207284) × cos(1.12937628) × R
    0.000383499999999981 × 0.427223824873329 × 6371000     		du = 1043.82678600072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12954009)-sin(1.12937628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427075711002566-0.427223824873329)×R²
    abs(-0.21207284--0.21245634)×0.0001481138707628×R²
    0.000383499999999981×0.0001481138707628×6371000²
    0.000383499999999981×0.0001481138707628×40589641000000     		ar = 1089183.77810155m²