Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76378 / 58618
↖ ↑ ↗
← N 18.661859°
E 29.778443°		 ← 289.31 m → N 18.661859°
E 29.781189°		 →
↑
289.31 m
↓
↑
289.31 m
↓
N 18.659257°
E 29.778443°		 ← 289.31 m →
83 699 m²		 N 18.659257°
E 29.781189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582721710205078 y=0.447223663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582721710205078 × 217)
    floor (0.582721710205078 × 131072)
    floor (76378.5)     		tx = 76378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447223663330078 × 217)
    floor (0.447223663330078 × 131072)
    floor (58618.5)     		ty = 58618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76378 / 58618 ti = "17/76378/58618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76378/58618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76378 ÷ 217
    76378 ÷ 131072     		x = 0.582717895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58618 ÷ 217
    58618 ÷ 131072     		y = 0.447219848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582717895507812 × 2 - 1) × π
    0.165435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51973187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447219848632812 × 2 - 1) × π
    0.105560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.331627471571548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51973187} λ = 0.51973187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331627471571548))-π/2
    2×atan(1.39323373265292)-π/2
    2×0.948253604733115-π/2
    1.89650720946623-1.57079632675     		φ = 0.32571088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51973187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.778443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32571088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.661859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76378 KachelY 58618 0.51973187 0.32571088 29.778443 18.661859
    Oben rechts KachelX + 1 76379 KachelY 58618 0.51977980 0.32571088 29.781189 18.661859
    Unten links KachelX 76378 KachelY + 1 58619 0.51973187 0.32566547 29.778443 18.659257
    Unten rechts KachelX + 1 76379 KachelY + 1 58619 0.51977980 0.32566547 29.781189 18.659257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32571088-0.32566547) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dl = 289.307109999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32571088-0.32566547) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dr = 289.307109999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51973187-0.51977980) × cos(0.32571088) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947423496756429 × 6371000     		do = 289.307162239419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51973187-0.51977980) × cos(0.32566547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947438026179069 × 6371000     		du = 289.311598973411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32571088)-sin(0.32566547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947423496756429-0.947438026179069)×R²
    abs(0.51977980-0.51973187)×1.45294226392423e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45294226392423e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45294226392423e-05×40589641000000     		ar = 83699.2608135113m²