Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76378 / 58003
↖ ↑ ↗
← N 20.254467°
E 29.778443°		 ← 286.48 m → N 20.254467°
E 29.781189°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.251891°
E 29.778443°		 ← 286.48 m →
82 078 m²		 N 20.251891°
E 29.781189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582721710205078 y=0.442531585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582721710205078 × 217)
    floor (0.582721710205078 × 131072)
    floor (76378.5)     		tx = 76378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442531585693359 × 217)
    floor (0.442531585693359 × 131072)
    floor (58003.5)     		ty = 58003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76378 / 58003 ti = "17/76378/58003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76378/58003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76378 ÷ 217
    76378 ÷ 131072     		x = 0.582717895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58003 ÷ 217
    58003 ÷ 131072     		y = 0.442527770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582717895507812 × 2 - 1) × π
    0.165435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51973187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442527770996094 × 2 - 1) × π
    0.114944458007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.361108664837883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51973187} λ = 0.51973187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361108664837883))-π/2
    2×atan(1.43491937768862)-π/2
    2×0.962151732789886-π/2
    1.92430346557977-1.57079632675     		φ = 0.35350714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51973187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.778443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35350714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.254467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76378 KachelY 58003 0.51973187 0.35350714 29.778443 20.254467
    Oben rechts KachelX + 1 76379 KachelY 58003 0.51977980 0.35350714 29.781189 20.254467
    Unten links KachelX 76378 KachelY + 1 58004 0.51973187 0.35346217 29.778443 20.251891
    Unten rechts KachelX + 1 76379 KachelY + 1 58004 0.51977980 0.35346217 29.781189 20.251891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35350714-0.35346217) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35350714-0.35346217) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51973187-0.51977980) × cos(0.35350714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938164347545442 × 6371000     		do = 286.479769640277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51973187-0.51977980) × cos(0.35346217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938179914770263 × 6371000     		du = 286.48452327965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35350714)-sin(0.35346217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938164347545442-0.938179914770263)×R²
    abs(0.51977980-0.51973187)×1.55672248205452e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55672248205452e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55672248205452e-05×40589641000000     		ar = 82078.2436604767m²