Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76376 / 58008
↖ ↑ ↗
← N 20.241583°
E 29.772949°		 ← 286.56 m → N 20.241583°
E 29.775696°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 20.239006°
E 29.772949°		 ← 286.57 m →
82 120 m²		 N 20.239006°
E 29.775696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582706451416016 y=0.442569732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582706451416016 × 217)
    floor (0.582706451416016 × 131072)
    floor (76376.5)     		tx = 76376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442569732666016 × 217)
    floor (0.442569732666016 × 131072)
    floor (58008.5)     		ty = 58008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76376 / 58008 ti = "17/76376/58008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76376/58008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76376 ÷ 217
    76376 ÷ 131072     		x = 0.58270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58008 ÷ 217
    58008 ÷ 131072     		y = 0.44256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58270263671875 × 2 - 1) × π
    0.1654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51963599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44256591796875 × 2 - 1) × π
    0.1148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.360868980339783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51963599} λ = 0.51963599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360868980339783))-π/2
    2×atan(1.43457549097156)-π/2
    2×0.962039296400674-π/2
    1.92407859280135-1.57079632675     		φ = 0.35328227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51963599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.772949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35328227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.241583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76376 KachelY 58008 0.51963599 0.35328227 29.772949 20.241583
    Oben rechts KachelX + 1 76377 KachelY 58008 0.51968393 0.35328227 29.775696 20.241583
    Unten links KachelX 76376 KachelY + 1 58009 0.51963599 0.35323729 29.772949 20.239006
    Unten rechts KachelX + 1 76377 KachelY + 1 58009 0.51968393 0.35323729 29.775696 20.239006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35328227-0.35323729) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dl = 286.567580000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35328227-0.35323729) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dr = 286.567580000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51963599-0.51968393) × cos(0.35328227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938242171615994 × 6371000     		do = 286.563309564834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51963599-0.51968393) × cos(0.35323729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938257732812616 × 6371000     		du = 286.568062354827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35328227)-sin(0.35323729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938242171615994-0.938257732812616)×R²
    abs(0.51968393-0.51963599)×1.55611966218272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55611966218272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55611966218272e-05×40589641000000     		ar = 82120.4351504529m²