Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76365 / 58645
↖ ↑ ↗
← N 18.591585°
E 29.742737°		 ← 289.43 m → N 18.591585°
E 29.745483°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.588983°
E 29.742737°		 ← 289.43 m →
83 771 m²		 N 18.588983°
E 29.745483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582622528076172 y=0.447429656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582622528076172 × 217)
    floor (0.582622528076172 × 131072)
    floor (76365.5)     		tx = 76365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447429656982422 × 217)
    floor (0.447429656982422 × 131072)
    floor (58645.5)     		ty = 58645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76365 / 58645 ti = "17/76365/58645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76365/58645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76365 ÷ 217
    76365 ÷ 131072     		x = 0.582618713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58645 ÷ 217
    58645 ÷ 131072     		y = 0.447425842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582618713378906 × 2 - 1) × π
    0.165237426757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51910869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447425842285156 × 2 - 1) × π
    0.105148315429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.330333175281807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51910869} λ = 0.51910869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330333175281807))-π/2
    2×atan(1.39143164187328)-π/2
    2×0.947640354548411-π/2
    1.89528070909682-1.57079632675     		φ = 0.32448438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51910869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.742737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32448438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.591585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76365 KachelY 58645 0.51910869 0.32448438 29.742737 18.591585
    Oben rechts KachelX + 1 76366 KachelY 58645 0.51915662 0.32448438 29.745483 18.591585
    Unten links KachelX 76365 KachelY + 1 58646 0.51910869 0.32443895 29.742737 18.588983
    Unten rechts KachelX + 1 76366 KachelY + 1 58646 0.51915662 0.32443895 29.745483 18.588983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32448438-0.32443895) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32448438-0.32443895) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51910869-0.51915662) × cos(0.32448438) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.947815242430588 × 6371000     		do = 289.426786493053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51910869-0.51915662) × cos(0.32443895) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.947829725450351 × 6371000     		du = 289.431209057369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32448438)-sin(0.32443895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947815242430588-0.947829725450351)×R²
    abs(0.51915662-0.51910869)×1.44830197634782e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.44830197634782e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.44830197634782e-05×40589641000000     		ar = 83770.7459539299m²