Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76361 / 58631
↖ ↑ ↗
← N 18.628027°
E 29.731751°		 ← 289.43 m → N 18.628027°
E 29.734497°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.625424°
E 29.731751°		 ← 289.43 m →
83 770 m²		 N 18.625424°
E 29.734497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582592010498047 y=0.447322845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582592010498047 × 217)
    floor (0.582592010498047 × 131072)
    floor (76361.5)     		tx = 76361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447322845458984 × 217)
    floor (0.447322845458984 × 131072)
    floor (58631.5)     		ty = 58631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76361 / 58631 ti = "17/76361/58631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76361/58631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76361 ÷ 217
    76361 ÷ 131072     		x = 0.582588195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58631 ÷ 217
    58631 ÷ 131072     		y = 0.447319030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582588195800781 × 2 - 1) × π
    0.165176391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51891694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447319030761719 × 2 - 1) × π
    0.105361938476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.331004291876488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51891694} λ = 0.51891694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331004291876488))-π/2
    2×atan(1.39236576815727)-π/2
    2×0.947958367772525-π/2
    1.89591673554505-1.57079632675     		φ = 0.32512041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51891694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.731751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32512041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.628027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76361 KachelY 58631 0.51891694 0.32512041 29.731751 18.628027
    Oben rechts KachelX + 1 76362 KachelY 58631 0.51896488 0.32512041 29.734497 18.628027
    Unten links KachelX 76361 KachelY + 1 58632 0.51891694 0.32507498 29.731751 18.625424
    Unten rechts KachelX + 1 76362 KachelY + 1 58632 0.51896488 0.32507498 29.734497 18.625424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32512041-0.32507498) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32512041-0.32507498) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51891694-0.51896488) × cos(0.32512041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947612271574214 × 6371000     		do = 289.425179278446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51891694-0.51896488) × cos(0.32507498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947626781978228 × 6371000     		du = 289.429611129329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32512041)-sin(0.32507498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947612271574214-0.947626781978228)×R²
    abs(0.51896488-0.51891694)×1.4510404014012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4510404014012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4510404014012e-05×40589641000000     		ar = 83770.282114423m²