Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7636 / 7244
↖ ↑ ↗
← S 79.781164°
E155.566406°		 ← 866.90 m → S 79.781164°
E155.610351°		 →
↑
866.58 m
↓
↑
866.58 m
↓
S 79.788958°
E155.566406°		 ← 866.25 m →
750 962 m²		 S 79.788958°
E155.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93218994140625 y=0.88433837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93218994140625 × 213)
    floor (0.93218994140625 × 8192)
    floor (7636.5)     		tx = 7636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88433837890625 × 213)
    floor (0.88433837890625 × 8192)
    floor (7244.5)     		ty = 7244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7636 / 7244 ti = "13/7636/7244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7636/7244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7636 ÷ 213
    7636 ÷ 8192     		x = 0.93212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7244 ÷ 213
    7244 ÷ 8192     		y = 0.88427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93212890625 × 2 - 1) × π
    0.8642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71514599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88427734375 × 2 - 1) × π
    -0.7685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41448576006299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71514599} λ = 2.71514599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41448576006299))-π/2
    2×atan(0.0894133069947877)-π/2
    2×0.0891761647956013-π/2
    0.178352329591203-1.57079632675     		φ = -1.39244400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71514599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39244400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.781164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7636 KachelY 7244 2.71514599 -1.39244400 155.566406 -79.781164
    Oben rechts KachelX + 1 7637 KachelY 7244 2.71591298 -1.39244400 155.610351 -79.781164
    Unten links KachelX 7636 KachelY + 1 7245 2.71514599 -1.39258002 155.566406 -79.788958
    Unten rechts KachelX + 1 7637 KachelY + 1 7245 2.71591298 -1.39258002 155.610351 -79.788958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39244400--1.39258002) × R
    0.000136020000000014 × 6371000     		dl = 866.583420000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39244400--1.39258002) × R
    0.000136020000000014 × 6371000     		dr = 866.583420000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71514599-2.71591298) × cos(-1.39244400) × R
    0.000766990000000245 × 0.177408278251583 × 6371000     		do = 866.904361267089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71514599-2.71591298) × cos(-1.39258002) × R
    0.000766990000000245 × 0.177274414249936 × 6371000     		du = 866.250235721267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39244400)-sin(-1.39258002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177408278251583-0.177274414249936)×R²
    abs(2.71591298-2.71514599)×0.000133864001647221×R²
    0.000766990000000245×0.000133864001647221×6371000²
    0.000766990000000245×0.000133864001647221×40589641000000     		ar = 750961.520179444m²