Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7636 / 4278
↖ ↑ ↗
← N 64.867608°
W 12.216797°		 ← 1 037.69 m → N 64.867608°
W 12.194824°		 →
↑
1 037.84 m
↓
↑
1 037.84 m
↓
N 64.858274°
W 12.216797°		 ← 1 038.05 m →
1 077 137 m²		 N 64.858274°
W 12.194824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466094970703125 y=0.261138916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466094970703125 × 214)
    floor (0.466094970703125 × 16384)
    floor (7636.5)     		tx = 7636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261138916015625 × 214)
    floor (0.261138916015625 × 16384)
    floor (4278.5)     		ty = 4278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7636 / 4278 ti = "14/7636/4278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7636/4278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7636 ÷ 214
    7636 ÷ 16384     		x = 0.466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4278 ÷ 214
    4278 ÷ 16384     		y = 0.2611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.06787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21322333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2611083984375 × 2 - 1) × π
    0.477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5010002009032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21322333} λ = -0.21322333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5010002009032))-π/2
    2×atan(4.48617390228667)-π/2
    2×1.351474830532-π/2
    2.702949661064-1.57079632675     		φ = 1.13215333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21322333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.216797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13215333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.867608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7636 KachelY 4278 -0.21322333 1.13215333 -12.216797 64.867608
    Oben rechts KachelX + 1 7637 KachelY 4278 -0.21283983 1.13215333 -12.194824 64.867608
    Unten links KachelX 7636 KachelY + 1 4279 -0.21322333 1.13199043 -12.216797 64.858274
    Unten rechts KachelX + 1 7637 KachelY + 1 4279 -0.21283983 1.13199043 -12.194824 64.858274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13215333-1.13199043) × R
    0.000162899999999855 × 6371000     		dl = 1037.83589999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13215333-1.13199043) × R
    0.000162899999999855 × 6371000     		dr = 1037.83589999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21322333--0.21283983) × cos(1.13215333) × R
    0.000383499999999981 × 0.424711322361303 × 6371000     		do = 1037.68804263189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21322333--0.21283983) × cos(1.13199043) × R
    0.000383499999999981 × 0.424858794792101 × 6371000     		du = 1038.0483588514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13215333)-sin(1.13199043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424711322361303-0.424858794792101)×R²
    abs(-0.21283983--0.21322333)×0.000147472430798268×R²
    0.000383499999999981×0.000147472430798268×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147472430798268×40589641000000     		ar = 1077136.88057995m²