Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7636 / 4259
↖ ↑ ↗
← N 65.044333°
W 12.216797°		 ← 1 030.86 m → N 65.044333°
W 12.194824°		 →
↑
1 031.08 m
↓
↑
1 031.08 m
↓
N 65.035060°
W 12.216797°		 ← 1 031.22 m →
1 063 087 m²		 N 65.035060°
W 12.194824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466094970703125 y=0.259979248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466094970703125 × 214)
    floor (0.466094970703125 × 16384)
    floor (7636.5)     		tx = 7636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259979248046875 × 214)
    floor (0.259979248046875 × 16384)
    floor (4259.5)     		ty = 4259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7636 / 4259 ti = "14/7636/4259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7636/4259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7636 ÷ 214
    7636 ÷ 16384     		x = 0.466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4259 ÷ 214
    4259 ÷ 16384     		y = 0.25994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.06787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21322333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25994873046875 × 2 - 1) × π
    0.4801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50828660964545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21322333} λ = -0.21322333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50828660964545))-π/2
    2×atan(4.51898137821685)-π/2
    2×1.35301704592815-π/2
    2.70603409185631-1.57079632675     		φ = 1.13523777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21322333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.216797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13523777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.044333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7636 KachelY 4259 -0.21322333 1.13523777 -12.216797 65.044333
    Oben rechts KachelX + 1 7637 KachelY 4259 -0.21283983 1.13523777 -12.194824 65.044333
    Unten links KachelX 7636 KachelY + 1 4260 -0.21322333 1.13507593 -12.216797 65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 7637 KachelY + 1 4260 -0.21283983 1.13507593 -12.194824 65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13523777-1.13507593) × R
    0.00016184000000008 × 6371000     		dl = 1031.08264000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13523777-1.13507593) × R
    0.00016184000000008 × 6371000     		dr = 1031.08264000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21322333--0.21283983) × cos(1.13523777) × R
    0.000383499999999981 × 0.421916874027517 × 6371000     		do = 1030.86042709859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21322333--0.21283983) × cos(1.13507593) × R
    0.000383499999999981 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 1031.21891519284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13523777)-sin(1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421916874027517-0.422063598232002)×R²
    abs(-0.21283983--0.21322333)×0.00014672420448486×R²
    0.000383499999999981×0.00014672420448486×6371000²
    0.000383499999999981×0.00014672420448486×40589641000000     		ar = 1063087.10839157m²