Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76359 / 58681
↖ ↑ ↗
← N 18.497843°
E 29.726257°		 ← 289.65 m → N 18.497843°
E 29.729004°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
N 18.495238°
E 29.726257°		 ← 289.65 m →
83 890 m²		 N 18.495238°
E 29.729004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582576751708984 y=0.447704315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582576751708984 × 217)
    floor (0.582576751708984 × 131072)
    floor (76359.5)     		tx = 76359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447704315185547 × 217)
    floor (0.447704315185547 × 131072)
    floor (58681.5)     		ty = 58681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76359 / 58681 ti = "17/76359/58681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76359/58681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76359 ÷ 217
    76359 ÷ 131072     		x = 0.582572937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58681 ÷ 217
    58681 ÷ 131072     		y = 0.447700500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582572937011719 × 2 - 1) × π
    0.165145874023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51882106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447700500488281 × 2 - 1) × π
    0.104598999023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.328607446895485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51882106} λ = 0.51882106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328607446895485))-π/2
    2×atan(1.38903247953797)-π/2
    2×0.946822294052896-π/2
    1.89364458810579-1.57079632675     		φ = 0.32284826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51882106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.726257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32284826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.497843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76359 KachelY 58681 0.51882106 0.32284826 29.726257 18.497843
    Oben rechts KachelX + 1 76360 KachelY 58681 0.51886900 0.32284826 29.729004 18.497843
    Unten links KachelX 76359 KachelY + 1 58682 0.51882106 0.32280280 29.726257 18.495238
    Unten rechts KachelX + 1 76360 KachelY + 1 58682 0.51886900 0.32280280 29.729004 18.495238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32284826-0.32280280) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32284826-0.32280280) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51882106-0.51886900) × cos(0.32284826) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948335601568018 × 6371000     		do = 289.646102877738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51882106-0.51886900) × cos(0.32280280) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948350023634571 × 6371000     		du = 289.650507748087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32284826)-sin(0.32280280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948335601568018-0.948350023634571)×R²
    abs(0.51886900-0.51882106)×1.44220665531103e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.44220665531103e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.44220665531103e-05×40589641000000     		ar = 83889.5816086047m²