Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76358 / 58007
↖ ↑ ↗
← N 20.244160°
E 29.723511°		 ← 286.50 m → N 20.244160°
E 29.726257°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.241583°
E 29.723511°		 ← 286.50 m →
82 084 m²		 N 20.241583°
E 29.726257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582569122314453 y=0.442562103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582569122314453 × 217)
    floor (0.582569122314453 × 131072)
    floor (76358.5)     		tx = 76358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442562103271484 × 217)
    floor (0.442562103271484 × 131072)
    floor (58007.5)     		ty = 58007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76358 / 58007 ti = "17/76358/58007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76358/58007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76358 ÷ 217
    76358 ÷ 131072     		x = 0.582565307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58007 ÷ 217
    58007 ÷ 131072     		y = 0.442558288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582565307617188 × 2 - 1) × π
    0.165130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51877313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442558288574219 × 2 - 1) × π
    0.114883422851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.360916917239403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51877313} λ = 0.51877313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360916917239403))-π/2
    2×atan(1.43464426172119)-π/2
    2×0.962061784424615-π/2
    1.92412356884923-1.57079632675     		φ = 0.35332724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51877313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.723511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35332724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.244160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76358 KachelY 58007 0.51877313 0.35332724 29.723511 20.244160
    Oben rechts KachelX + 1 76359 KachelY 58007 0.51882106 0.35332724 29.726257 20.244160
    Unten links KachelX 76358 KachelY + 1 58008 0.51877313 0.35328227 29.723511 20.241583
    Unten rechts KachelX + 1 76359 KachelY + 1 58008 0.51882106 0.35328227 29.726257 20.241583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35332724-0.35328227) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35332724-0.35328227) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51877313-0.51882106) × cos(0.35332724) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.938226611981334 × 6371000     		do = 286.498782834154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51877313-0.51882106) × cos(0.35328227) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.938242171615994 × 6371000     		du = 286.50353415578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35332724)-sin(0.35328227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938226611981334-0.938242171615994)×R²
    abs(0.51882106-0.51877313)×1.555963465949e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.555963465949e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.555963465949e-05×40589641000000     		ar = 82083.6906820671m²