Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76357 / 62019
↖ ↑ ↗
← N  9.614290°
E 29.720764°		 ← 301.14 m → N  9.614290°
E 29.723511°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
N  9.611582°
E 29.720764°		 ← 301.14 m →
90 670 m²		 N  9.611582°
E 29.723511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582561492919922 y=0.473171234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582561492919922 × 217)
    floor (0.582561492919922 × 131072)
    floor (76357.5)     		tx = 76357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473171234130859 × 217)
    floor (0.473171234130859 × 131072)
    floor (62019.5)     		ty = 62019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76357 / 62019 ti = "17/76357/62019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76357/62019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76357 ÷ 217
    76357 ÷ 131072     		x = 0.582557678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62019 ÷ 217
    62019 ÷ 131072     		y = 0.473167419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582557678222656 × 2 - 1) × π
    0.165115356445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51872519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.473167419433594 × 2 - 1) × π
    0.0536651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.168594075963737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51872519} λ = 0.51872519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.168594075963737))-π/2
    2×atan(1.18363957364086)-π/2
    2×0.869298673242412-π/2
    1.73859734648482-1.57079632675     		φ = 0.16780102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51872519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.720764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16780102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.614290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76357 KachelY 62019 0.51872519 0.16780102 29.720764 9.614290
    Oben rechts KachelX + 1 76358 KachelY 62019 0.51877313 0.16780102 29.723511 9.614290
    Unten links KachelX 76357 KachelY + 1 62020 0.51872519 0.16775376 29.720764 9.611582
    Unten rechts KachelX + 1 76358 KachelY + 1 62020 0.51877313 0.16775376 29.723511 9.611582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16780102-0.16775376) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16780102-0.16775376) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51872519-0.51877313) × cos(0.16780102) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.985954412308651 × 6371000     		do = 301.135855986135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51872519-0.51877313) × cos(0.16775376) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.985962304320439 × 6371000     		du = 301.138266409675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16780102)-sin(0.16775376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985954412308651-0.985962304320439)×R²
    abs(0.51877313-0.51872519)×7.89201178774679e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.89201178774679e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.89201178774679e-06×40589641000000     		ar = 90670.399707186m²