Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76353 / 58943
↖ ↑ ↗
← N 17.814071°
E 29.709778°		 ← 290.78 m → N 17.814071°
E 29.712524°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.811456°
E 29.709778°		 ← 290.79 m →
84 552 m²		 N 17.811456°
E 29.712524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582530975341797 y=0.449703216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582530975341797 × 217)
    floor (0.582530975341797 × 131072)
    floor (76353.5)     		tx = 76353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449703216552734 × 217)
    floor (0.449703216552734 × 131072)
    floor (58943.5)     		ty = 58943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76353 / 58943 ti = "17/76353/58943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76353/58943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76353 ÷ 217
    76353 ÷ 131072     		x = 0.582527160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58943 ÷ 217
    58943 ÷ 131072     		y = 0.449699401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582527160644531 × 2 - 1) × π
    0.165054321289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51853344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449699401855469 × 2 - 1) × π
    0.100601196289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.31604797919503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51853344} λ = 0.51853344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31604797919503))-π/2
    2×atan(1.37169606692036)-π/2
    2×0.940855259485848-π/2
    1.8817105189717-1.57079632675     		φ = 0.31091419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51853344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.709778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31091419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.814071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76353 KachelY 58943 0.51853344 0.31091419 29.709778 17.814071
    Oben rechts KachelX + 1 76354 KachelY 58943 0.51858138 0.31091419 29.712524 17.814071
    Unten links KachelX 76353 KachelY + 1 58944 0.51853344 0.31086855 29.709778 17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 76354 KachelY + 1 58944 0.51858138 0.31086855 29.712524 17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31091419-0.31086855) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dl = 290.772439999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31091419-0.31086855) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dr = 290.772439999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51853344-0.51858138) × cos(0.31091419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95205429041651 × 6371000     		do = 290.781886170447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51853344-0.51858138) × cos(0.31086855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 290.786150406607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31091419)-sin(0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95205429041651-0.952068252030094)×R²
    abs(0.51858138-0.51853344)×1.39616135848009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39616135848009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39616135848009e-05×40589641000000     		ar = 84551.9785253752m²