Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76351 / 58726
↖ ↑ ↗
← N 18.380592°
E 29.704285°		 ← 289.84 m → N 18.380592°
E 29.707031°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 18.377986°
E 29.704285°		 ← 289.85 m →
84 002 m²		 N 18.377986°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582515716552734 y=0.448047637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582515716552734 × 217)
    floor (0.582515716552734 × 131072)
    floor (76351.5)     		tx = 76351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448047637939453 × 217)
    floor (0.448047637939453 × 131072)
    floor (58726.5)     		ty = 58726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76351 / 58726 ti = "17/76351/58726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76351/58726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76351 ÷ 217
    76351 ÷ 131072     		x = 0.582511901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58726 ÷ 217
    58726 ÷ 131072     		y = 0.448043823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582511901855469 × 2 - 1) × π
    0.165023803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51843757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448043823242188 × 2 - 1) × π
    0.103912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.326450286412582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51843757} λ = 0.51843757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326450286412582))-π/2
    2×atan(1.38603934306218)-π/2
    2×0.945799088624044-π/2
    1.89159817724809-1.57079632675     		φ = 0.32080185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51843757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.704285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32080185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.380592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76351 KachelY 58726 0.51843757 0.32080185 29.704285 18.380592
    Oben rechts KachelX + 1 76352 KachelY 58726 0.51848551 0.32080185 29.707031 18.380592
    Unten links KachelX 76351 KachelY + 1 58727 0.51843757 0.32075636 29.704285 18.377986
    Unten rechts KachelX + 1 76352 KachelY + 1 58727 0.51848551 0.32075636 29.707031 18.377986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32080185-0.32075636) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32080185-0.32075636) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51843757-0.51848551) × cos(0.32080185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94898287775103 × 6371000     		do = 289.843797684248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51843757-0.51848551) × cos(0.32075636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948997221021839 × 6371000     		du = 289.848178488349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32080185)-sin(0.32075636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94898287775103-0.948997221021839)×R²
    abs(0.51848551-0.51843757)×1.43432708089586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43432708089586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43432708089586e-05×40589641000000     		ar = 84002.2338759816m²