Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76351 / 58533
↖ ↑ ↗
← N 18.882899°
E 29.704285°		 ← 288.99 m → N 18.882899°
E 29.707031°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.880301°
E 29.704285°		 ← 288.99 m →
83 497 m²		 N 18.880301°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582515716552734 y=0.446575164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582515716552734 × 217)
    floor (0.582515716552734 × 131072)
    floor (76351.5)     		tx = 76351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446575164794922 × 217)
    floor (0.446575164794922 × 131072)
    floor (58533.5)     		ty = 58533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76351 / 58533 ti = "17/76351/58533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76351/58533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76351 ÷ 217
    76351 ÷ 131072     		x = 0.582511901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58533 ÷ 217
    58533 ÷ 131072     		y = 0.446571350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582511901855469 × 2 - 1) × π
    0.165023803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51843757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446571350097656 × 2 - 1) × π
    0.106857299804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.335702108039253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51843757} λ = 0.51843757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335702108039253))-π/2
    2×atan(1.39892223504732)-π/2
    2×0.950182545345913-π/2
    1.90036509069183-1.57079632675     		φ = 0.32956876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51843757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.704285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32956876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.882899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76351 KachelY 58533 0.51843757 0.32956876 29.704285 18.882899
    Oben rechts KachelX + 1 76352 KachelY 58533 0.51848551 0.32956876 29.707031 18.882899
    Unten links KachelX 76351 KachelY + 1 58534 0.51843757 0.32952341 29.704285 18.880301
    Unten rechts KachelX + 1 76352 KachelY + 1 58534 0.51848551 0.32952341 29.707031 18.880301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32956876-0.32952341) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32956876-0.32952341) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51843757-0.51848551) × cos(0.32956876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94618199587285 × 6371000     		do = 288.988336263953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51843757-0.51848551) × cos(0.32952341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946196671748349 × 6371000     		du = 288.992818654087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32956876)-sin(0.32952341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94618199587285-0.946196671748349)×R²
    abs(0.51848551-0.51843757)×1.46758754987486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46758754987486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46758754987486e-05×40589641000000     		ar = 83496.5592580748m²