Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76350 / 58667
↖ ↑ ↗
← N 18.534305°
E 29.701538°		 ← 289.58 m → N 18.534305°
E 29.704285°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
N 18.531701°
E 29.701538°		 ← 289.59 m →
83 853 m²		 N 18.531701°
E 29.704285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582508087158203 y=0.447597503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582508087158203 × 217)
    floor (0.582508087158203 × 131072)
    floor (76350.5)     		tx = 76350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447597503662109 × 217)
    floor (0.447597503662109 × 131072)
    floor (58667.5)     		ty = 58667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76350 / 58667 ti = "17/76350/58667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76350/58667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76350 ÷ 217
    76350 ÷ 131072     		x = 0.582504272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58667 ÷ 217
    58667 ÷ 131072     		y = 0.447593688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582504272460938 × 2 - 1) × π
    0.165008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51838963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447593688964844 × 2 - 1) × π
    0.104812622070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.329278563490166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51838963} λ = 0.51838963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329278563490166))-π/2
    2×atan(1.38996499516389)-π/2
    2×0.947140482034842-π/2
    1.89428096406968-1.57079632675     		φ = 0.32348464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51838963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.701538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32348464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.534305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76350 KachelY 58667 0.51838963 0.32348464 29.701538 18.534305
    Oben rechts KachelX + 1 76351 KachelY 58667 0.51843757 0.32348464 29.704285 18.534305
    Unten links KachelX 76350 KachelY + 1 58668 0.51838963 0.32343919 29.701538 18.531701
    Unten rechts KachelX + 1 76351 KachelY + 1 58668 0.51843757 0.32343919 29.704285 18.531701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32348464-0.32343919) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32348464-0.32343919) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51838963-0.51843757) × cos(0.32348464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948133505938845 × 6371000     		do = 289.584377669976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51838963-0.51843757) × cos(0.32343919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948147952259584 × 6371000     		du = 289.588789948178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32348464)-sin(0.32343919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948133505938845-0.948147952259584)×R²
    abs(0.51843757-0.51838963)×1.44463207389922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44463207389922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44463207389922e-05×40589641000000     		ar = 83853.2559161166m²