Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7635 / 7245
↖ ↑ ↗
← S 79.788958°
E155.522461°		 ← 866.25 m → S 79.788958°
E155.566406°		 →
↑
865.88 m
↓
↑
865.88 m
↓
S 79.796745°
E155.522461°		 ← 865.60 m →
749 788 m²		 S 79.796745°
E155.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93206787109375 y=0.88446044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93206787109375 × 213)
    floor (0.93206787109375 × 8192)
    floor (7635.5)     		tx = 7635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88446044921875 × 213)
    floor (0.88446044921875 × 8192)
    floor (7245.5)     		ty = 7245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7635 / 7245 ti = "13/7635/7245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7635/7245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7635 ÷ 213
    7635 ÷ 8192     		x = 0.9320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7245 ÷ 213
    7245 ÷ 8192     		y = 0.8843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9320068359375 × 2 - 1) × π
    0.864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71437900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.768798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41525275045691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71437900} λ = 2.71437900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41525275045691))-π/2
    2×atan(0.0893447541402851)-π/2
    2×0.0891081552429917-π/2
    0.178216310485983-1.57079632675     		φ = -1.39258002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71437900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39258002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.788958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7635 KachelY 7245 2.71437900 -1.39258002 155.522461 -79.788958
    Oben rechts KachelX + 1 7636 KachelY 7245 2.71514599 -1.39258002 155.566406 -79.788958
    Unten links KachelX 7635 KachelY + 1 7246 2.71437900 -1.39271593 155.522461 -79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 7636 KachelY + 1 7246 2.71514599 -1.39271593 155.566406 -79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39258002--1.39271593) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dl = 865.882610000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39258002--1.39271593) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dr = 865.882610000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71437900-2.71514599) × cos(-1.39258002) × R
    0.000766989999999801 × 0.177274414249936 × 6371000     		do = 866.250235720765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71437900-2.71514599) × cos(-1.39271593) × R
    0.000766989999999801 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 865.596623161839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39258002)-sin(-1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177274414249936-0.177140655228867)×R²
    abs(2.71514599-2.71437900)×0.000133759021068131×R²
    0.000766989999999801×0.000133759021068131×6371000²
    0.000766989999999801×0.000133759021068131×40589641000000     		ar = 749788.040301277m²