Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7635 / 5097
↖ ↑ ↗
← N 56.059770°
W 12.238769°		 ← 1 364.11 m → N 56.059770°
W 12.216797°		 →
↑
1 364.35 m
↓
↑
1 364.35 m
↓
N 56.047500°
W 12.238769°		 ← 1 364.55 m →
1 861 425 m²		 N 56.047500°
W 12.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466033935546875 y=0.311126708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466033935546875 × 214)
    floor (0.466033935546875 × 16384)
    floor (7635.5)     		tx = 7635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311126708984375 × 214)
    floor (0.311126708984375 × 16384)
    floor (5097.5)     		ty = 5097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7635 / 5097 ti = "14/7635/5097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7635/5097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7635 ÷ 214
    7635 ÷ 16384     		x = 0.46600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5097 ÷ 214
    5097 ÷ 16384     		y = 0.31109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31109619140625 × 2 - 1) × π
    0.3778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18691763459259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21360682} λ = -0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18691763459259))-π/2
    2×atan(3.27696482118719)-π/2
    2×1.2746119410477-π/2
    2.54922388209539-1.57079632675     		φ = 0.97842756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97842756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.059770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7635 KachelY 5097 -0.21360682 0.97842756 -12.238769 56.059770
    Oben rechts KachelX + 1 7636 KachelY 5097 -0.21322333 0.97842756 -12.216797 56.059770
    Unten links KachelX 7635 KachelY + 1 5098 -0.21360682 0.97821341 -12.238769 56.047500
    Unten rechts KachelX + 1 7636 KachelY + 1 5098 -0.21322333 0.97821341 -12.216797 56.047500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97842756-0.97821341) × R
    0.000214150000000024 × 6371000     		dl = 1364.34965000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97842756-0.97821341) × R
    0.000214150000000024 × 6371000     		dr = 1364.34965000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21360682--0.21322333) × cos(0.97842756) × R
    0.000383490000000014 × 0.55832776487552 × 6371000     		do = 1364.11465281156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21360682--0.21322333) × cos(0.97821341) × R
    0.000383490000000014 × 0.558505415293066 × 6371000     		du = 1364.54869093916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97842756)-sin(0.97821341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55832776487552-0.558505415293066)×R²
    abs(-0.21322333--0.21360682)×0.000177650417545361×R²
    0.000383490000000014×0.000177650417545361×6371000²
    0.000383490000000014×0.000177650417545361×40589641000000     		ar = 1861425.44611984m²