Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76349 / 58683
↖ ↑ ↗
← N 18.492633°
E 29.698792°		 ← 289.59 m → N 18.492633°
E 29.701538°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
N 18.490029°
E 29.698792°		 ← 289.60 m →
83 875 m²		 N 18.490029°
E 29.701538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582500457763672 y=0.447719573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582500457763672 × 217)
    floor (0.582500457763672 × 131072)
    floor (76349.5)     		tx = 76349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447719573974609 × 217)
    floor (0.447719573974609 × 131072)
    floor (58683.5)     		ty = 58683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76349 / 58683 ti = "17/76349/58683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76349/58683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76349 ÷ 217
    76349 ÷ 131072     		x = 0.582496643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58683 ÷ 217
    58683 ÷ 131072     		y = 0.447715759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582496643066406 × 2 - 1) × π
    0.164993286132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51834170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447715759277344 × 2 - 1) × π
    0.104568481445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.328511573096245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51834170} λ = 0.51834170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328511573096245))-π/2
    2×atan(1.38889931410053)-π/2
    2×0.946776833093032-π/2
    1.89355366618606-1.57079632675     		φ = 0.32275734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51834170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.698792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32275734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.492633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76349 KachelY 58683 0.51834170 0.32275734 29.698792 18.492633
    Oben rechts KachelX + 1 76350 KachelY 58683 0.51838963 0.32275734 29.701538 18.492633
    Unten links KachelX 76349 KachelY + 1 58684 0.51834170 0.32271188 29.698792 18.490029
    Unten rechts KachelX + 1 76350 KachelY + 1 58684 0.51838963 0.32271188 29.701538 18.490029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32275734-0.32271188) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32275734-0.32271188) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51834170-0.51838963) × cos(0.32275734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948364443741253 × 6371000     		do = 289.594491720827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51834170-0.51838963) × cos(0.32271188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948378861888034 × 6371000     		du = 289.598894475397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32275734)-sin(0.32271188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948364443741253-0.948378861888034)×R²
    abs(0.51838963-0.51834170)×1.44181467810478e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44181467810478e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44181467810478e-05×40589641000000     		ar = 83874.6333867914m²