Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76349 / 58669
↖ ↑ ↗
← N 18.529096°
E 29.698792°		 ← 289.53 m → N 18.529096°
E 29.701538°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
N 18.526492°
E 29.698792°		 ← 289.54 m →
83 838 m²		 N 18.526492°
E 29.701538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582500457763672 y=0.447612762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582500457763672 × 217)
    floor (0.582500457763672 × 131072)
    floor (76349.5)     		tx = 76349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447612762451172 × 217)
    floor (0.447612762451172 × 131072)
    floor (58669.5)     		ty = 58669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76349 / 58669 ti = "17/76349/58669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76349/58669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76349 ÷ 217
    76349 ÷ 131072     		x = 0.582496643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58669 ÷ 217
    58669 ÷ 131072     		y = 0.447608947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582496643066406 × 2 - 1) × π
    0.164993286132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51834170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447608947753906 × 2 - 1) × π
    0.104782104492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.329182689690926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51834170} λ = 0.51834170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329182689690926))-π/2
    2×atan(1.38983174032692)-π/2
    2×0.947095030761588-π/2
    1.89419006152318-1.57079632675     		φ = 0.32339373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51834170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.698792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32339373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.529096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76349 KachelY 58669 0.51834170 0.32339373 29.698792 18.529096
    Oben rechts KachelX + 1 76350 KachelY 58669 0.51838963 0.32339373 29.701538 18.529096
    Unten links KachelX 76349 KachelY + 1 58670 0.51834170 0.32334828 29.698792 18.526492
    Unten rechts KachelX + 1 76350 KachelY + 1 58670 0.51838963 0.32334828 29.701538 18.526492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32339373-0.32334828) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32339373-0.32334828) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51834170-0.51838963) × cos(0.32339373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948162399799594 × 6371000     		do = 289.532795172653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51834170-0.51838963) × cos(0.32334828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948176842202689 × 6371000     		du = 289.53720533418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32339373)-sin(0.32334828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948162399799594-0.948176842202689)×R²
    abs(0.51838963-0.51834170)×1.44424030950052e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44424030950052e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44424030950052e-05×40589641000000     		ar = 83838.3192810209m²