Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76347 / 58699
↖ ↑ ↗
← N 18.450952°
E 29.693298°		 ← 289.73 m → N 18.450952°
E 29.696045°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
N 18.448347°
E 29.693298°		 ← 289.73 m →
83 931 m²		 N 18.448347°
E 29.696045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582485198974609 y=0.447841644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582485198974609 × 217)
    floor (0.582485198974609 × 131072)
    floor (76347.5)     		tx = 76347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447841644287109 × 217)
    floor (0.447841644287109 × 131072)
    floor (58699.5)     		ty = 58699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76347 / 58699 ti = "17/76347/58699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76347/58699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76347 ÷ 217
    76347 ÷ 131072     		x = 0.582481384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58699 ÷ 217
    58699 ÷ 131072     		y = 0.447837829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582481384277344 × 2 - 1) × π
    0.164962768554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51824582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447837829589844 × 2 - 1) × π
    0.104324340820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.327744582702324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51824582} λ = 0.51824582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327744582702324))-π/2
    2×atan(1.38783445009092)-π/2
    2×0.946413095673375-π/2
    1.89282619134675-1.57079632675     		φ = 0.32202986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51824582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.693298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32202986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.450952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76347 KachelY 58699 0.51824582 0.32202986 29.693298 18.450952
    Oben rechts KachelX + 1 76348 KachelY 58699 0.51829376 0.32202986 29.696045 18.450952
    Unten links KachelX 76347 KachelY + 1 58700 0.51824582 0.32198439 29.693298 18.448347
    Unten rechts KachelX + 1 76348 KachelY + 1 58700 0.51829376 0.32198439 29.696045 18.448347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32202986-0.32198439) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dl = 289.689369999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32202986-0.32198439) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dr = 289.689369999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51824582-0.51829376) × cos(0.32202986) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948594936860516 × 6371000     		do = 289.725310551357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51824582-0.51829376) × cos(0.32198439) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948609326804153 × 6371000     		du = 289.729705610541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32202986)-sin(0.32198439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948594936860516-0.948609326804153)×R²
    abs(0.51829376-0.51824582)×1.43899436372275e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.43899436372275e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.43899436372275e-05×40589641000000     		ar = 83930.9793020361m²