Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76346 / 58727
↖ ↑ ↗
← N 18.377986°
E 29.690551°		 ← 289.85 m → N 18.377986°
E 29.693298°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 18.375379°
E 29.690551°		 ← 289.85 m →
84 004 m²		 N 18.375379°
E 29.693298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582477569580078 y=0.448055267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582477569580078 × 217)
    floor (0.582477569580078 × 131072)
    floor (76346.5)     		tx = 76346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448055267333984 × 217)
    floor (0.448055267333984 × 131072)
    floor (58727.5)     		ty = 58727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76346 / 58727 ti = "17/76346/58727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76346/58727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76346 ÷ 217
    76346 ÷ 131072     		x = 0.582473754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58727 ÷ 217
    58727 ÷ 131072     		y = 0.448051452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582473754882812 × 2 - 1) × π
    0.164947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51819788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448051452636719 × 2 - 1) × π
    0.103897094726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.326402349512962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51819788} λ = 0.51819788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326402349512962))-π/2
    2×atan(1.38597290222582)-π/2
    2×0.945776342803669-π/2
    1.89155268560734-1.57079632675     		φ = 0.32075636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51819788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.690551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32075636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.377986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76346 KachelY 58727 0.51819788 0.32075636 29.690551 18.377986
    Oben rechts KachelX + 1 76347 KachelY 58727 0.51824582 0.32075636 29.693298 18.377986
    Unten links KachelX 76346 KachelY + 1 58728 0.51819788 0.32071087 29.690551 18.375379
    Unten rechts KachelX + 1 76347 KachelY + 1 58728 0.51824582 0.32071087 29.693298 18.375379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32075636-0.32071087) × R
    4.54900000000369e-05 × 6371000     		dl = 289.816790000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32075636-0.32071087) × R
    4.54900000000369e-05 × 6371000     		dr = 289.816790000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51819788-0.51824582) × cos(0.32075636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948997221021839 × 6371000     		do = 289.848178488349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51819788-0.51824582) × cos(0.32071087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94901156232885 × 6371000     		du = 289.852558692655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32075636)-sin(0.32071087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948997221021839-0.94901156232885)×R²
    abs(0.51824582-0.51819788)×1.43413070109455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43413070109455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43413070109455e-05×40589641000000     		ar = 84003.5034197527m²