Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76342 / 58586
↖ ↑ ↗
← N 18.745108°
E 29.679566°		 ← 289.16 m → N 18.745108°
E 29.682312°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 18.742507°
E 29.679566°		 ← 289.17 m →
83 640 m²		 N 18.742507°
E 29.682312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582447052001953 y=0.446979522705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582447052001953 × 217)
    floor (0.582447052001953 × 131072)
    floor (76342.5)     		tx = 76342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446979522705078 × 217)
    floor (0.446979522705078 × 131072)
    floor (58586.5)     		ty = 58586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76342 / 58586 ti = "17/76342/58586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76342/58586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76342 ÷ 217
    76342 ÷ 131072     		x = 0.582443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58586 ÷ 217
    58586 ÷ 131072     		y = 0.446975708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582443237304688 × 2 - 1) × π
    0.164886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51800614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446975708007812 × 2 - 1) × π
    0.106048583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.33316145235939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51800614} λ = 0.51800614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33316145235939))-π/2
    2×atan(1.39537256647737)-π/2
    2×0.948980090886442-π/2
    1.89796018177288-1.57079632675     		φ = 0.32716386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51800614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.679566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32716386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.745108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76342 KachelY 58586 0.51800614 0.32716386 29.679566 18.745108
    Oben rechts KachelX + 1 76343 KachelY 58586 0.51805407 0.32716386 29.682312 18.745108
    Unten links KachelX 76342 KachelY + 1 58587 0.51800614 0.32711846 29.679566 18.742507
    Unten rechts KachelX + 1 76343 KachelY + 1 58587 0.51805407 0.32711846 29.682312 18.742507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32716386-0.32711846) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dl = 289.24339999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32716386-0.32711846) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dr = 289.24339999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51800614-0.51805407) × cos(0.32716386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946957568857706 × 6371000     		do = 289.164885550431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51800614-0.51805407) × cos(0.32711846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946972157563143 × 6371000     		du = 289.169340387138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32716386)-sin(0.32711846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946957568857706-0.946972157563143)×R²
    abs(0.51805407-0.51800614)×1.45887054369132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45887054369132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45887054369132e-05×40589641000000     		ar = 83639.6789375441m²