Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76341 / 59313
↖ ↑ ↗
← N 16.843977°
E 29.676819°		 ← 292.32 m → N 16.843977°
E 29.679566°		 →
↑
292.30 m
↓
↑
292.30 m
↓
N 16.841348°
E 29.676819°		 ← 292.33 m →
85 447 m²		 N 16.841348°
E 29.679566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582439422607422 y=0.452526092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582439422607422 × 217)
    floor (0.582439422607422 × 131072)
    floor (76341.5)     		tx = 76341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452526092529297 × 217)
    floor (0.452526092529297 × 131072)
    floor (59313.5)     		ty = 59313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76341 / 59313 ti = "17/76341/59313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76341/59313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76341 ÷ 217
    76341 ÷ 131072     		x = 0.582435607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59313 ÷ 217
    59313 ÷ 131072     		y = 0.452522277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582435607910156 × 2 - 1) × π
    0.164871215820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51795820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452522277832031 × 2 - 1) × π
    0.0949554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.298311326335609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51795820} λ = 0.51795820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.298311326335609))-π/2
    2×atan(1.34758126011544)-π/2
    2×0.932389586857274-π/2
    1.86477917371455-1.57079632675     		φ = 0.29398285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51795820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.676819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29398285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.843977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76341 KachelY 59313 0.51795820 0.29398285 29.676819 16.843977
    Oben rechts KachelX + 1 76342 KachelY 59313 0.51800614 0.29398285 29.679566 16.843977
    Unten links KachelX 76341 KachelY + 1 59314 0.51795820 0.29393697 29.676819 16.841348
    Unten rechts KachelX + 1 76342 KachelY + 1 59314 0.51800614 0.29393697 29.679566 16.841348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29398285-0.29393697) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dl = 292.301479999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29398285-0.29393697) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dr = 292.301479999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51795820-0.51800614) × cos(0.29398285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957097373357681 × 6371000     		do = 292.322173509634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51795820-0.51800614) × cos(0.29393697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95711066683684 × 6371000     		du = 292.326233680344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29398285)-sin(0.29393697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957097373357681-0.95711066683684)×R²
    abs(0.51800614-0.51795820)×1.32934791593486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32934791593486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32934791593486e-05×40589641000000     		ar = 85446.7973656768m²